«Теория кольца»

Теория колец

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля. Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и . Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если . (1) Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция ’+’ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0, получим: x0 = x0 + x0, откуда, при наличии свойства сокращения для операции ’+’ , получаем, что x0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент (-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x0 = xy + x(-y) и, значит, x(-y) = -xy. Определение. Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если

1. (R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).
2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения. Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо. Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено
3. 0. Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми , а их множество обозначается через . Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей x0 = 0 e , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y 0, для которого можно найти такое z 0, что yz = 0. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля. Определение. Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: . Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля. Примеры колец и полей.
4. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот “минимальный” запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).
5. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна . Элементы, не входящие в необратимы, хотя и не являются делителями нуля.
6. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество - квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица Е = diag( , ,..., ) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det(A) R