«математический анализ и дифференциальные уравнения»

. Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в задании; перед решением каждой задачи надо записать полностью ее условие. Решения задач излагать подробно, без сокращения слов и сопровождать, в случае необходимости, ссылками на теорию. Пример решения Контрольная работа № 1 Дифференциальное и интегральное исчисление Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Пытаясь понять закономерности изучаемых явлений, мы ищем связи между величинами, которые характеризуют эти явления. Часто такие связи можно выразить с помощью функции. Понятие функции является базовым понятием математического анализа [1, глава 4]. Научившись оперировать функциями - дифференцировать, интегрировать, строить их графики - мы получаем возможность глубже понимать те явления, которые этими функциями описываются. Это позволяет нам получать новую полезную информацию об изучаемых явлениях. Например, производная функции служит средством вычисления самых разных величин: скорости движения в механике, скорости химической реакции в химии, углового коэффициента касательной к кривым в геометрии и т.д. Формулы для вычисления производных основных элементарных функций рекомендуется заучить. Вычисляя производные или дифференциалы необходимо использовать правила дифференцирования суммы, произведения и частного, а также сложной функции [1, § 49-52]. Следует уяснить физический и геометрический смысл производной. Студент должен выработать уверенные навыки в технике вычисления производных и дифференциалов и только после этого можно переходить к применению производных при исследовании функций [1, глава 9]. В заданиях под № 3 необходимо провести исследование и построить график функции в соответствии со следующим планом: 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать ее четность. 3. Найти точки пересечения с осями координат. 4. Исследовать поведение функции в точках разрыва. 5. Исследовать поведение функции на бесконечности; найти наклонные асимптоты, если они существуют. 6. Определить интервалы монотонности, найти точки экстремума; составить таблицу. 7. Найти область значений функции; 8. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, найти точки перегиба; составить таблицу; 9. Построить график функции. Изучение связей и закономерностей, существующих в материальном мире, часто приводит к функциям не одного, а двух и большего числа аргументов. Студент должен уметь оперировать функциями многих независимых переменных: находить область определения, строить линии уровня, вычислять частные производные и находить полный дифференциал [1, глава 12]. Главными понятиями интегрального исчисления являются понятия первообразной функции и неопределенного интеграла. Необходимо осо-знать, что операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Это означает, что интегрирование помогает решать задачи, обратные названным выше; например, по заданной скорости вычислять путь в механике. Важно также получить минимальные навыки вычисления неопределенных интегралов. Для этого нужно знать их свойства, выучить и правильно применять основные формулы и методы интегрирования. В настоящем курсе достаточно ограничиться таблицей основных формул, приведенной в приложении 2. Если интеграл не относится к числу табличных, то прибегают к одному из методов интегрирования: разложению подынтегральной функции на слагаемые, методу непосредственного интегрирования, методу подстановки или интегрированию по частям [1, § 79]. Смысл применения того или иного метода заключается в том, что путем преобразований, характерных для каждого метода, интеграл приводится к табличному виду. При изучении определенного интеграла следует начать с анализа задач, которые приводят к появлению этого понятия, например, с задачи о вычислении площади криволинейной трапеции или подсчета количества вещества, образующегося при химической реакции. Определенный интеграл вводится в рассмотрение, как предел интегральной суммы [1, §80]. Однако формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к решению неопределенного. Определенный интеграл можно рассматривать как приращение первообразной функции, т.е. как разность значений первообразной, вычисленной на верхнем и нижнем пределах интегрирования. Необходимо обратить внимание на особенности вычисления определенного интеграла методами подстановки и интегрирования по частям [1, § 84]. Для понимания свойств определенного интеграла, полезно рас-смотреть их геометрический смысл. Например, интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами, равен нулю [1, § 81]. С этим свойством легко согласиться, т.к. здесь криволинейная трапеция выродилась в отрезок прямой и ее площадь рана нулю. В заданиях под № 7 требуется умение приложить понятие определен-ного интеграла к вычислению площадей плоских фигур [1, § 86]. Многие природные явления могут быть описаны закономерностями, сформулированными в виде дифференциальных уравнений. Важно понимать, что решением дифференциального уравнения является функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение уравнения, следовательно, заключается в поиске всех таких функций. Некоторые из найденных функций удовлетворяют начальным условиям, их мы называем частными решениями. Необходимо научиться решать уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения первого порядка; линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и находить их частные решения по заданным начальным условиям [1, глава 13]. Примеры решения задач Пример 1. Найти производную функции Решение. Применяем правило дифференцирования суммы: Производную первого слагаемого расписываем по правилу дифференцирования частного, а производная второго слагаемого равна 0, т.к. это константа: Для нахождения производной числителя воспользуемся формулой диффе-ренцирования произведения двух функций: Пример 2. Найти дифференциал функции Решение. Используя определение дифференциала и правило дифференцирования сложной функции, получим: Пример 3. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. Функцию исследуем в соответствие с планом, который изложен в методических указаниях. 1. Область определения функции: . Знаменатель данной функции не должен равняться нулю, тогда из следует, что функция определена при всех значениях x, кроме x=2 (точка разрыва). 2. Исследуем функцию на четность, изменив знак аргумента на противопо-ложный: . Получили совсем другую функцию, значит, исходная функция является функцией общего вида. 3. Точки пересечения с осью ординат находим, подставив значение x=0 в функцию f(x): , откуда получается y=0. Точки пересечения с осью абсцисс находим из уравнения f(x)=0: , откуда получается x=0. Итак, функция проходит через начало координат (0;0). 4. Поведение функции в окрестности точки разрыва (x=2): Причем при 02, т.е. справа, функция положительна. 5. Асимптота - это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при удалении в бесконечность. Данная функция имеет вертикаль-ную асимптоту x=2. Проверим, есть ли наклонная асимптота вида y=kx+b. Для этого найдем угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекаемый прямой на оси OX, Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту y=x+2. 6. Вычисляем производную и приравниваем ее к нулю: Из уравнения найдем критические точки: x1 = 0, x2 = 4 и значения функции в этих точках f(0)=0, f(4)=8. Результаты исследования занесем в таблицу, где область определения делится на интервалы критическими точками. Определяем знак производной на всех интервалах и помечаем в третьей строке таблицы возрастание или убывание функции стрелками. x (-;0) 0 (0;4) 4 (4;+) + 0 – 0 + f (x) 0 8 В результате становятся видны точки максимума и минимума: в точке x1=0 функция имеет максимум, в точке x2 = 4 - минимум. 7. На основании пунктов 5 и 6 область значений функции E(f)=(-,0][8,). 8. Ищем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости, используя вторую производную: . Вторая производная не равна нулю для любого значения x, следовательно, точек перегиба нет. Однако есть точка разрыва х=2, в которой вторая производная не существует. Эта точка делит область определения функции на два интервала, в которых вторая производная имеет разные знаки, отвечающие за выпуклость и вогнутость функции. Это видно из таблицы: х (-;2) (2;+) f(x) + f (x) 9. С учетом проведенного исследования построим график функции, показанный на рис.1. Рис. 1 Пример 4. Найти полный дифференциал функции . Решение. Вычислим частные производные по х и у (при этом надо учиты-вать, что при дифференцировании по одному из аргументов, другие считаются постоянными величинами): ; . Тогда полный дифференциал . Пример 5. Вычислить неопределенный интеграл . Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом подстановки, для этого введем новую переменную t, вычислим ее дифференциал и дифференциал х, затем подставим в интеграл: После нахождения первообразной функции необходимо сделать обратную замену. Пример 6. Вычислить определенный интеграл . Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом интегрирова-ния по частям: Тогда по формуле интегрирования по частям получаем: . Пример 7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и . Решение. Построим графики функций: Для определения пределов интегрирования необходимо найти точки пересечения функций. Приравняем функции и решим полученное уравнение: Тогда Пример 8. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения , если y(0)= . Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Необходимо преобразовать уравнение так, чтобы все функции, зависящие от х, были в одной части уравнения, а все функции, зависящие от y, были в другой части уравнения. Для этого перенесем второе слагаемое в правую часть: Разделим обе части уравнения на : . В результате получаем: ; . Проинтегрируем обе части уравнения: ; ; . По свойству логарифмов: ; тогда общее решение данного дифференциального уравнения будет: . Из условия y(0)= найдем постоянную интегрирования C: Тогда частное решение: Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Выразим из уравнения производную: . Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения на х: . Так как переменные входят только в виде отношения, то данное уравнение является однородным. Поэтому сделаем замену переменных , тогда y=ux . В результате получим уравнение . Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Решим данное уравнение: Сделаем обратную замену Отсюда получаем общее решение уравнения . Пример 10. Найти общее и частное решения дифференциального урав-нения , Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение: Тогда общее решение уравнения: Для нахождения частного решения продифференцируем это выражение: Из условий находим Поэтому частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид: