«теория вероятности и основы математической статистики»

пример решения работы: Примеры решения задач Пример 1. Студент-заочник ПГФА пытается доехать от остановки «Площадь Дружбы» до остановки «ул. Ушинского» на троллейбусе №8 или №11. На остановке «Площадь Дружбы» останавливаются троллейбусы №2, №8, №10 и №11. Известно, что по всем этим маршрутам курсируют 40 троллейбусов. Из них 10 троллейбусов работают на маршруте №8 и 8 тролейбусов на маршруте №11. Какова вероятность, что студент уедет на нужную ему остановку на первом пришедшем троллейбусе Решение. Введем обозначение случайных событий: приход троллейбуса №11 обозначим буквой А, а приход троллейбуса №8 буквой В. Тогда вероятность событий А и В согласно классическому определению вероятности: . Студента устраивает либо троллейбус №11 событие А, либо троллейбус №8 событие В. Эти два события несо-вместны. Найдем вероятность суммы событий по теореме сложения вероят-ностей: . Пример 2. Студент-заочник должен сдать экзамены по химии, матема-тике и латинскому языку. Он выучил половину вопросов по латинскому языку, 20% вопросов по математике и 1/3 вопросов по химии, поэтому свои шансы сдать каждый экзамен на «отлично» он оценивает соответственно как , и . Какова вероятность, что по всем трем курсам студент получит «отлич-но», при условии, что он правильно оценивает свои шансы Решение. Интересующее студента событие является произведением трех независимых событий, вероятности которых он оценил самостоятельно. Интересующую его вероятность можно оценить по теореме умножения независимых событий: . Пример 3. Вычислите вероятность вытянуть из колоды карт тройку, семерку и туз. Учтите, что нас устраивает любая последовательность появления карт и любая масть. Карты обратно в колоду не возвращаются. Всего в колоде 52 карты. Решение. Вероятность вынуть тройку равна . При этом вероят-ности появления остальных карт изменяются условная вероятность, например, вероятность, что следующей будет семерка , а вероят-ность туза . Вероятность, что карты будут вынуты именно в выбранной последовательности, найдем по теореме умножения . Однако возможны и другие последовательности появления карт: 7 Т 3; Т 3 7; 3 T 7; T 7 3; 7 3 T. Всего возможно шесть различных последовательностей карт, так называемых перестановок. В общем случае число перестановок равно факториалу от количества переставляемых элементов 3! = 123 = 6 1, стр.318. Легко видеть, что все последовательности карт имеют одинаковые вероятности. Поскольку нас устраивает любая из перечисленных последовательностей, то искомую вероятность найдем по теореме сложения: , т.е. примерно три шанса из тыся-чи, что вытянув три карты, мы получим тройку, семерку и туза в любой последовательности и любой масти. Пример 4. Считая рождение мальчика и девочки равновероятными событиями найти процент семей среди семей с тремя детьми, в которых двое мальчиков. Решение. По условию задачи вероятность рождения мальчика постоянна и равна p=0,5. В этой задаче нам задана вероятность события в одном испытании p=0,5, требуется найти вероятность появления события в трех испы-таниях n = 3 два раза m = 2. Вероятность противоположного события рождение девочки равна q =1p = 0,5. Задача решается по формуле Бернулли . Следовательно, в 37,5% семей из троих детей двое мальчиков. Пример 5. Случайная величина Х задана законом распределения: X 1 4 6 P 0,4 0,5 0,1 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Решение. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляем по формуле : = MХ=1 0,4 + 40,5 + 6 0,1 = 3. Дисперсию дискретной случайной величины вычисляем по формуле : . Среднее квадратичное отклонение: . Пример 6. Случайная величина Х задана функцией распределения Найти плотность вероятности fx; математическое ожидание MX; диспер-сию DX; вероятности PX<0,5, . Решение. Плотность вероятности – это производная от функции распределения, тогда Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле : ; дисперсия – по формуле : Найдем вероятности PX<0,5, : PX<0,5=F0,5= =0,25; . Пример 7. Установлено, что распределение диаметров эритроцитов хорошо описывается нормальным законом распределения с математическим ожиданием м и средним квадратичным отклонением =0,6м. Найти симметричный относительно интервал диаметров, в который попадает 90% эритроцитов. Решение. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа, т.е. вероятность неравенства Х - < равна Р Х - < 1, c. 354. Величина вероятности Р в задаче задана, поэтому: = 0,9; откуда = = 0,45. Из приложения 3 находим, что функция =0,45 тогда, когда ее аргумент 65. Отсюда 5 0,6мм. Теперь найдем интервал диаметров Следовательно, интервал диаметров для 90% эритроцитов можно записать в виде . Пример 8. Исследованием большого числа сухих плодов шиповника установлено, что распределение массы плода хорошо описывается нормальным законом распределения с математическим ожиданием г средняя масса плода, и средним квадратическим отклонением г характеристика разброса масс. Вычислите, сколько процентов плодов имеют массу от 0,4 г до 0,5 г. Решение. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал от х1 до х2 можно вычислить по формуле: 1, c. 352. В приложения 3 берем значение функции Фz и получаем , т.е. 34,13% плодов имеют массу от 0,4 г до 0,5 г. Пример 9. Взвешены 9 случайно выбранных сухих плодов шиповника: 0,42; 0,33; 0,25; 0,46; 0,51; 0,43; 0,37; 0,34; 0,31 г. Оцените при помощи доверительного интервала математическое ожидание массы плодов среднюю массу плода с доверительной вероятностью 0,95. Считайте, что масса сухих плодов шиповника хорошо описывается нормальным законом распределения, а значит в малой выборке 9 экземпляров – это малая выборка работает распределение Стьюдента. Решение. Занесем исходные данные в таблицу, удобную для проведения расчетов и заполним все ее колонки. № m 1 0,42 0,04 0,0016 2 0,33 -0,05 0,0025 3 0,25 -0,13 0,0169 4 0,46 0,08 0,0064 5 0,51 0,13 0,0169 6 0,43 0,05 0,0025 7 0,37 -0,01 0,0001 8 0,34 -0,04 0,0016 9 0,31 -0,07 0,0049 Сумма 3,42 0,053 В малой выборке из нормально распределенной генеральной совокупности пользуемся распределением Стьюдента. Выборочное среднее значение массы плодов: , исправленное среднее квадратическое отклонение: г, а среднее квадратичное отклонение выборочного среднего: г. Полуширину доверительного интервала для доверительной вероятности p = 0,95 можно найти, используя коэффициент Стьюдента приложение 4: , тогда получаем следующий интервал: . Другими словами, математическое ожидание массы плода шиповника лежит в интервале 0,315 г; г с вероятностью p = 0,95. Пример 10. Известно, что процесс деления микроорганизмов в благо-приятной среде достаточно хорошо описывается экспоненциальной функцией ,где N – количество микроорганизмов в момент времени t; N0 – количество микроорганизмов в начальный момент времени t = 0; a – положительный коэффициент, характеризующий способность данного штамма к размножению. По результатам микробиологического эксперимента см. таблицу методом наименьших квадратов определите количество микроорганизмов в начальный момент времени, найдите коэффициент , постройте график функции и нанесите на него экспериментальные точки. Вычислите время, за которое число бактерий удваивается. t час 1 2 4 8 16 N штук/мм3 160 200 300 550 2000 Решение. Для решения задачи воспользуемся формулами, которые дает метод наименьших квадратов для коэффициентов уравнения прямой 1, стр.404. Нелинейную зависимость N = ft можно преобразовать в линейную, если прологарифмировать исходные значения N. При этом получается формула lnN= at + lnN0. Уравнение прямой линии y = ax + b. В нашем случае роль y играет lnN, а роль х – время t. С учетом этого перепишем таблицу и дополним ее новыми колонками для вычисления всевозможных сумм, необходимых для метода наименьших квадратов. N t час X LnN Y X2 XY 160 1 5,08 1 5,08 200 2 5,30 4 10,6 300 4 5,70 16 22,82 550 8 6,31 64 50,48 2000 16 7,60 256 121,61 Суммы Коэффициенты a и b вычисляются следующим образом: . Зная коэффициент b = lnN0, можно найти начальное количество бак-терий N0 : N0 = еb = e5 = 148штук/мм3. Формула роста числа бактерий: . Количество бактерий через 24 часа: штук/мм3 Время удвоения количества бактерий T найдем, подставив вместо N значение 2N0 : 2N0 = N0eaT. Откуда T = ln2/a = 0,693/0,17 = 4 часа, т.е. при благоприятных условиях каждые четыре часа количество данного вида бактерий удваивается. График найденной функции сплошная линия и исходные экспериментальные точки показаны на рисунке : Пример 11. При составлении ресурсной характеристики ромашки аптечной определена масса г 140 корзинок этого растения. По данным таблицы составьте интервальный ряд распределения, по-стройте гистограмму, найдите среднюю массу корзинки, выборочную дис-персию и среднеквадратическое отклонение массы, а также доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью p=0,95. 0,062 0,083 0,103 0,080 0,105 0,094 0,123 0,102 0,122 0,109 0,060 0,141 0,101 0,132 0,092 0,093 0,103 0,087 0,080 0,086 0,144 0,084 0,095 0,107 0,099 0,114 0,113 0,094 0,093 0,113 0,078 0,076 0,092 0,102 0,153 0,085 0,088 0,104 0,094 0,103 0,104 0,125 0,083 0,104 0,103 0,085 0,094 0,085 0,135 0,083 0,099 0,079 0,096 0,083 0,097 0,134 0,114 0,094 0,106 0,107 0,124 0,114 0,124 0,093 0,113 0,108 0,105 0,095 0,124 0,095 0,073 0,092 0,118 0,095 0,090 0,119 0,095 0,082 0,094 0,103 0,104 0,113 0,157 0,144 0,093 0,102 0,072 0,096 0,147 0,088 0,163 0,103 0,095 0,086 0,074 0,104 0,123 0,149 0,074 0,103 0,097 0,109 0,142 0,083 0,134 0,075 0,094 0,098 0,109 0,102 0,130 0,093 0,074 0,084 0,075 0,158 0,143 0,109 0,142 0,098 0,102 0,073 0,097 0,113 0,135 0,133 0,092 0,093 0,103 0,114 0,133 0,084 0,135 0,095 0,095 0,105 0,114 0,110 0,149 0,098 Решение. Из таблицы, видно, что массы корзинок лежат в диапазоне от 0,06 г. до 0,17 г. Разбиваем диапазон изменения массы на интервалы равной ширины, так, чтобы границы интервалов были удобными числами. Выберем 11 интервалов. Подсчитаем, какая доля всех корзинок попадает в каждый интервал, т.е. найдем абсолютную и относительную частоты для всех интервалов. Занесем данные в таблицу: m г 0,06; 0,07 0,07; 0,08 0,08; 0,09 0,09; 0,10 0,10; 0,11 0,11; 0,12 0,12; 0,13 0,13; 0,14 0,14; 0,15 0,15; 0,16 0,16; 0,17 n 2 11 19 36 30 13 7 9 9 3 1 0,014 0,079 0,136 0,257 0,214 0,093 0,050 0,064 0,064 0,021 0,007 По полученному интервальному ряду распределения вычисляем среднее арифметическое массы корзинок: 0,0650,014+0,0750,079+0,0850,136+...=0,101 г в качестве массы mi взята середина интервалов; выборочную дисперсию: = 0,065-0,10120,014+0,075-0,10120,079+...= = 0,00044; исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение: =0,021 г; среднее квадратичное отклонение выборочного среднего: г. Полуширина доверительного интервала для математического ожидания массы: г. И, наконец, строим гистограмму, т.е. серию из 11 столбиков, высоты которых пропорциональны относительной частоте для данного интервала. Глядя на гистограмму, легко согласиться с тем, что масса корзинок ромашки аптечной распределена по закону, близкому к закону Гаусса. Второй слабый максимум, заметный при m = 0,15 г связан с тем, что в число 140 корзинок были включены выборки с двух различных участков, отличающихся условиями произрастания данные получены в питомнике Пермской фармакадемии.