«Теория вероятности и статистика»

Вариант 8 Задача 1. Формулируется одинаково во всех вариантах. Что называется случайным событием? Приведите примеры. Дайте определения и приведите примеры (отличные от примеров, приведенных в учебнике) противоположных, а также совместных и несовместных событий. Что такое достоверные и невозможные события? Привести примеры. Что такое элементарные события? Задача 2. 2а). Формулируется одинаково во всех вариантах. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель равна 0.85. Определить число попаданий, если было произведено 120 выстрелов. 2б). В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить студент. Вариант 1 I, III Вариант 6 III, IV Вариант 2 II, IV Вариант 7 I, V Вариант 3 III, V Вариант 8 II, III Вариант 4 I, IV Вариант 9 IV, V Вариант 5 II, V Вариант 10 I, II В группе из 30 студентов на контрольной работе были получены следующие оценки: I) "отлично" - 8 человек, "хорошо" - 12, "удовлетворительно" - 9, остальные получили "неудовлетворительно"; II) отлично" - 10 человек, "хорошо" - 2, "удовлетворительно" - 5, остальные получили "неудовлетворительно"; III) отлично" - 5 человек, "хорошо" - 10, "удовлетворительно" - 6, остальные получили "неудовлетворительно"; IV) отлично" - 12 человек, "хорошо" - 12, "удовлетворительно" - 3, остальные получили "неудовлетворительно"; V) отлично" - 6 человек, "хорошо" - 5, "удовлетворительно" - 4, остальные получили "неудовлетворительно"; Какова вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку: а) "отлично"; б) "хорошо"; в) "удовлетворительно"; г) "неудовлетворительно"? Задача 3. Формулируется одинаково во всех вариантах. В денежно-вещевой лотерее на каждую тысячу билетов разыгрывается 100 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша - денежного или вещевого - для владельца одного лотерейного билета? Задача 4. 4а). Формулируется одинаково во всех вариантах. Вероятность того, что при независимом осмотре больного первый врач допустит ошибку - 0.01, второй - 0.02, третий - 0.015. Какова вероятность того, что ни один из врачей не допустит ошибки? 4б). В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить студент. Вариант 1 I, III Вариант 6 III, IV Вариант 2 II, IV Вариант 7 I, V Вариант 3 III, V Вариант 8 II, III Вариант 4 I, IV Вариант 9 IV, V Вариант 5 II, V Вариант 10 I, II В урне m белых и n черных шаров. Из нее извлекают подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые, если шары обратно не возвращаются и при первом извлечении появился белый шар? I) m = 5, n = 3; IV) m = 6, n = 2; II) m = 4, n = 6; V) m = 6, n = 4; III) m = 3; n = 8; Задача 5. В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить студент. Вариант 1 а, д Вариант 6 б, а Вариант 2 Б, е Вариант 7 д, в Вариант 3 в, ж Вариант 8 а, г, Вариант 4 г, б, Вариант 9 ж, е, Вариант 5 д, ж Вариант 10 а, е, В семье шестеро детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми и равными 0.5, найти вероятность того, что в семье: а) 3 мальчика; д) 2 мальчика; б) 4 мальчика; е) 6 мальчиков; в) 5 мальчиков; ж) нет мальчиков. г) 1 мальчик; Задача 6. Формулируется одинаково во всех вариантах. В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 3 выигрыша по 500 руб., 8 выигрышей по 400 руб., 8 выигрышей по 100 руб. Записать закон распределения стоимости выигрыша для владельца одного билета. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для данной случайной величины. Задача 7. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: <!--[if !vml]--><!--[endif]--> Найти вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал. Вариант 1. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 6. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 2. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 7. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 3. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 8. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 4. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 9. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 5. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Вариант 10. <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Функция распределения во всех вариантах одинакова. Вероятность попадания случайной величины в интервал следует находить в соответствии с номером варианта. Задача 8. В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить студент. Вариант 1 а Вариант 6 а Вариант 2 б Вариант 7 б Вариант 3 в Вариант 8 в Вариант 4 г Вариант 9 г Вариант 5 д Вариант 10 д Задана функция распределения непрерывной случайной величины: а) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> б) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> в) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]--> г) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> д) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]--> Найти и построить график функции плотности распределения вероятностей. Задача 9. В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить студент. Вариант 1 а, е Вариант 6 б, з Вариант 2 б, ж Вариант 7 д, а Вариант 3 в, и Вариант 8 г, к Вариант 4 г, з Вариант 9 ж, в Вариант 5 д, к Вариант 10 е, и Постройте графики функции плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону, характеризуемому следующими параметрами: а) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; е) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; б) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; ж) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; в) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; з) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; г) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; и) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; д) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; к) <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; Чему должна быть равна площадь под графиками каждой из двух функций, рассчитанная для интервала <!--[if !vml]--><!--[endif]-->? Ответ обосновать в соответствии со свойствами функции плотности распределения вероятности. Задача 10. В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить студент. Вариант 1 а, е Вариант 6 б, з Вариант 2 б, ж Вариант 7 д, а Вариант 3 в, и Вариант 8 г, к Вариант 4 г, з Вариант 9 ж, в Вариант 5 д, к Вариант 10 е, и Найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал: а) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; б) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; в) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; г) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; д) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; е) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; ж) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; з) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; и) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; к) <!--[if !vml]--><!--[endif]-->, если <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]-->; Заштрихуйте соответствующие полученным вероятностям площади под графиками функций плотности распределения вероятности, построенными Вами в предыдущей задаче. Задача 11. Формулируется одинаково во всех вариантах. Из продукции, произведенной фармацевтической фабрикой за месяц, случайным образом отобраны 15 коробочек некоторого гомеопатического препарата, количество таблеток в которых оказалось равным соответственно 50, 51, 48, 52, 51, 50, 49, 50, 47, 50, 51, 49, 50, 52, 48. Представить эти данные в виде дискретного статистического ряда распределения и построить полигон частот, а также полигон относительных частот. Задача 12. Формулируется одинаково во всех вариантах. При измерении артериального давления у случайным образом отобранных 30 пациентов клиники получены следующие результаты (в мм. рт. ст.): 151, 166, 133, 155, 179, 148, 143, 128, 138, 172, 163, 157, 158, 136, 169, 153, 142, 147, 134, 164, 167, 131, 152, 145, 176, 122, 149, 154, 161, 156. Представить эти данные в виде интервального статистического ряда распределения и построить гистограмму относительных частот. Для решения интервал значений давления от 120 мм.рт.ст. до 180 мм.рт.ст. разделить на 6 частичных интервалов величиной 10 мм.рт.ст. Задача 13. Формулируется одинаково во всех вариантах. По данным задачи 11 найти точечную, а также интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0.95) оценки среднего количества таблеток в коробочках с данным видом продукции, выпущенной фабрикой за месяц. Задача 14. Формулируется одинаково во всех вариантах. По данным задачи 12 найти точечную, а также интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0.95) оценки среднего значения артериального давления у всех пациентов клиники. Задача 15. Формулируется одинаково во всех вариантах. При 12-кратном измерении температуры раствора серной кислоты получены следующие значения: 20.0, 20.3, 20.0, 20.2, 19.5, 20.5, 19.7, 20.0, 20.4, 20.0, 19.6, 19.8. Дать точечную и интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0.95) оценки истинной концентрации раствора, а также оценить относительную погрешность измерения концентрации.