Задачи по специальной теории относительности (СТО) с решением

Специальную теорию относительности мало кто понимает в полной мере. Тем не менее, решать простейшие задачи по СТО может научиться каждый. Приведем в этой статье несколько примеров задач по специальной теории относительности с решением.

Подпишитесь на наш телеграм, там много полезной и интересной информации. А если хотите получить скидку на заказ, ищите ее на нашем втором канале для клиентов.

Задачи на специальную теорию относительности с решением

Если не знаете, с чего начать решение физических задач, повторите памятку по решению и держите под рукой полезные формулы.

Задача №1 на СТО Эйнштейна

Условие

Чему равна длина космического корабля, движущегося со скоростью 0,9с? Длина покоящегося корабля 100 м.

Решение

Для решения этой простейшей задачи нужно использовать преобразования Лоренца:

$$\begin{gathered} l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ l=100\sqrt{1-\frac{{\left(0,9с\right)}^2}{{с}^2}}=43,5 м \end{gathered}$$

Ответ: 43,5 м

Задача №2 на СТО Эйнштейна

Условие

Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость 0,4с (0,4 от скорости света в вакууме). В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения $\beta$ - частицу со скоростью 0,75с относительно ускорителя. Определите скорость частицы относительно ядра. Ответ дать в мегаметрах за секунду.

Решение

Для решения этой задачи нужно использовать релятивистский закон сложения скоростей:

$v_x=\frac{v_{x^{\text{'}}}+v}{1+{\displaystyle \frac{v_{x^{\text{'}}}·v}{c^2}}}$

Здесь $v_x$ - скорость частицы в системе отсчета, связанной с ускорителем, $v_{x^{\text{'}}}$ - c скорость частицы в системе отсчета, связанной с ядром, $v$ - скорость одной системы отсчета относительно другой.

Тогда скорость частицы относительно ядра будет равна:

$$\begin{gathered} v_{x^{\text{'}}}=\frac{v_x-v}{1-{\displaystyle \frac{v_x·v}{c^2}}} \\ {v}_{x^{\text{'}}}=\frac{0,75с-0,4с}{1-{\displaystyle \frac{0,75с·0,4с}{{с}^2}}}=\frac{с}{2}=1,5·{10}^{8 }\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.=150 М \raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $150 М \raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.$.

Задача №3 на СТО Эйнштейна

Условие

На сколько процентов полная энергия протона, вылетающего из ускорителя со скоростью 0,8с, больше его энергии покоя?

Решение

Для решения этой задачи найдем энергию покоя протона $W_0$, его полную релятивистскую энергию $W$, а затем вычислим их соотошение  $\frac{∆W}{W_0}$, где $∆W=W-W_0$.

Получаем:

$\frac{∆W}{W_0}=\frac{W-W_0}{W_0}=\frac{W}{W_0}-1$

$W_0=m{c}^2$

$W=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$

$\frac{∆W}{W_0}=\frac{m{c}^2}{m{c}^2\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}-1=\frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}-1$

$\frac{∆W}{W_0}=\frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{{\left(0,8с\right)}^2}{{с}^2}}}}-1=\frac{1}{\sqrt{1-0,64}}-1=0,67$

Ответ: полная энергия больше энергии покоя на 67%.

Задача №4 на СТО Эйнштейна

Условие

Чему равна будет масса космонавта, движущегося в космическом корабле со скоростью 0,8с? Масса покоящегося космонавта 90 кг.

Решение

Для решения задачи используем преобразования Лоренца для массы:

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$

$m=\frac{90}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{{\left(0,8с\right)}^2}{{с}^2}}}}=\frac{90}{0,6}=150 кг$

Ответ: 150 кг.

Задача №5 на СТО Эйнштейна

Условие

С космического корабля, удаляющегося от Земли со скоростью 0,7с, стартует ракета в направлении движения корабля. Скорость ракеты относительно Земли 0,96с. Чему равна скорость ракеты относительно Земли?

Решение

Обозначим $v$ – скорость движения корабля относительно Земли, $v_1$ – скорость ракеты относительно космического корабля, $v_2$ – скорость ракеты относительно Земли. Тогда $v=0,7с$, $v_2=0,96с$.

На основании релятивистского закона сложения скоростей имеем:

$$\begin{gathered} v_2=\frac{v_1+v}{1+{\displaystyle \frac{v_{1}v}{c^2}}} \\ {v}_1+v=v_2\left(1+\frac{v_{1}v}{c^2}\right) \\ {v}_1{c}^2+v{c}^2=v_2\left(c^2+v·v_1\right) \\ {v}_1=\frac{c^2\left(v-v^2\right)}{v{v}_1-c^2}=\frac{c^2\left(0,7с-0,96с\right)}{0,7с·0,96с-{с}^2}=0,8с \end{gathered}$$

Ответ: 0,8с

Вопросы по теме СТО

Вопрос 1. Что такое специальная теория относительности? Какие задачи она решает?

Ответ. Теория относительности – физическая теория пространства и времени. В частной (специальной) теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Явления, описываемые теорией относительности, называются релятивистскими (от лат. «относительный») и проявляются при скоростях, близких к скорости света в вакууме (эти скорости тоже принято называть релятивистскими).

Вопрос 2. Сфомулируйте принцип относительности Эйнштейна

Ответ. Принцип относительности Эйнштейна гласит:

«Никакими физическими экспериментами (механическими, электрическими, оптическими) невозможно определить в любой инерциальной системе отсчета, движется ли эта система равномерно и прямо, или она находится в покое».

Не только механические, но и все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Нужно больше вопросов по физике? Загляните в наш блог!

Вопрос 3. В основе специальной теорит относительности лежат два постулата, выдвинутых Эйнштейном. Сформулируйте их.

Ответ. 

1. Первый постулат является естественным обобщением принципа относительности Галилея с механических на все в отсутствие исключения явления природы и может быть сформулирован как утверждение о невозможности наблюдателю, находящемуся в замкнутой системе отсчета, с помощью какого-либо физического (а значит и любого другого) опыта установить, покоится ли его система отсчета или находится в состоянии равномерного прямолинейного движения. 
2. Вторым постулатом Эйнштейна является утверждение о постоянстве скорости света и ее инвариантности во всех системах отсчета. Этот факт неоднократно проверялся в точных экспериментах.

Вопрос 4. Какие выводы делаются из постулатов относительности?

Ответ. На основе сформулированных постулатов Эйнштейна пересматриваются все коренные положения классической механики (кинематики). Понятия одновременности событий, длительности временного промежутка и длины отрезка перестают носить абсолютный характер, становясь зависимыми от выбора системы отсчета, в которой ведется наблюдение.

В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением при низких скоростях.

Вопрос 5. В чем смысл преобразований Лоренца?

Ответ. При скоростях, близких к скорости света, преобразования Лоренца приходят на смену классическим преобразованиям Галилея.

Нужна помощь в решении задач по физике и выполнении других заданий? Обращайтесь за ней в профессиональный сервис для учащихся в любое время.