«математическая статистика»

предмет: "Статистика в фармации", вариант 6, пять заданий, список использованной литературы 5 источников, Примеры решения задач Задание 1. В лабораторной работе по физике «Определение вязкости жидкости методом Стокса», проводимой со студентами фармацевтической академии, используется свинцовая дробь. Для изучения распределения массы дробинок в миллиграммах была образована следующая выборка: 17, 49, 79, 44, 82, 65, 109, 77, 107, 88, 62, 64, 79, 55, 44, 53, 140, 50, 67, 85, 64, 94, 41, 38, 62, 77, 154, 52, 56, 80, 49, 80, 79, 52, 65, 52, 127, 49, 73, 43, 95, 65, 83, 85, 111, 95, 112, 64, 94, 86, 34, 62, 101, 67, 59, 103, 67, 47, 65, 79, 64, 77, 32, 68, 145, 56, 172, 79, 67, 53, 35, 79, 70, 88, 137, 49, 125, 37, 65, 71, 35, 50, 37, 171, 139, 88, 137, 71, 77, 34, 62, 64, 79, 95, 124, 50, 127, 67, 67, 82, 14, 136, 76, 122, 82, 67, 111, 67, 70, 94, 73, 95, 94, 65, 80, 94, 160, 140, 95, 89, 65, 79, 80, 112, 35, 80, 109, 148, 127, 124, 68, 49, 70, 125, 88, 77, 119, 64, 148, 71. По выборке объёма n = 140 составьте интервальный ряд распределения. Количество интервалов найдите по формуле Стерджесса, ширину интервала округлите до 10 мг в большую сторону, левую границу первого интервала также округлите до 10 мг в меньшую сторону. Постройте гистограмму относительных частот и кумулятивную кривую. Найдите среднее значение, выборочные дисперсию и среднее квадратическое отклонение. При доверительной вероятности = 0,95 определите доверительный интервал для генеральной средней. Проверьте гипотезу о нормальном распределении массы дробинок таблеток по данной выборке. Уровень значимости = 0,05. Решение. Из приведённых данных видно, что массы дробинок лежат в диапазоне от 14 до 172 мг. По формуле Стерджесса 1 находим количество интервалов: k = 1 + 3,322lgn = 1 + 3,322lg140 = 1 + 3,3222,146 = 8,129. Округляем в большую сторону: k = 9. Находим ширину интервалов: . В соответствие с условием задачи округляем это значение до 20 мг с точностью до 10 мг в большую сторону. В качестве левой границы первого интервала выбираем значение 10 мг округлив в меньшую сторону самое маленькое значение xmin = 14 мг. Разбиваем диапазон данных на интервалы равной ширины. Находим абсолютные частоты для всех интервалов подсчитываем, сколько значений массы дробинок попадает в каждый промежуток. Заносим данные в таблицу 1. Рассчитываем по формуле значения относительных частот и по формуле значения эмпирической функции распределения накопленные частоты. Таблица 1 Интервал мг xi 10-30 30-50 50-70 70-90 90-110 110-130 130-150 150-170 170-190 Абсолютная частота mi 2 19 42 36 15 13 9 2 2 Относитель-ная частота wi 0,0143 0,1357 0,3000 0,2571 0,1071 0,0929 0,0643 0,0143 0,0143 Эмпирическая функция рас-пределения Fx 0,0143 0,1500 0,4500 0,7071 0,8143 0,9071 0,9714 0,9857 1,0000 Строим гистограмму относительных частот рис. 1 и кумуляту рис. 2. После этого по формуле 2 вычисляем среднее выборочное массы дробинок: в качестве значения массы xi взята середина соответствующего интервала. По формулам 3 и 5 определяем выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение: . Т.к. объём выборки велик n = 140, то исправленную дисперсию можно не вычислять. Полуширина доверительного интервала для математического ожида-ния по формуле 11 равна , где коэффициент t взят из таблицы функции Лапласа Приложение 1 из условия Фt = 0,5 = 0,50,95 = 0,475. Тогда с вероятностью = 0,95 генеральное среднее массы дробинок лежит в интервале = 80,0 5,4 мг или 74,6 < 85,4 мг. В заключении проверим гипотезу о том, что распределение масс является нормальным: H0: распределение масс является нормальным; H1: распределение масс не является нормальным. Прежде всего, объединяем крайние интервалы с соседними см. табли-цу 1, т.к. их эмпирические частоты mi меньше 4. Данные заносим в табли-цу 2 столбец mi, причём первый интервал начинаем с –, а последний ин-тервал заканчиваем +. Считая, что данное распределение является нормальным с математическим ожиданием 80,0 мг и средним квадратическим от-клонением 32,34 мг, с помощью Приложения 1 вычисляем вероятности попадания в соответствующий интервал pi: ; . Умножаем эти вероятности на объём выборки n = 140 и получаем теоретические частоты mi’. Заполняем два оставшихся столбца и находим суммы по столбцам. Таблица 2 Интервал, мг mi pi mi’ mi – mi’ –, 50 21 0,1762 24,67 -3,67 0,55 50, 70 42 0,2021 28,29 13,71 6,64 70, 90 36 0,2434 34,08 1,92 0,11 90, 110 15 0,2021 28,29 -13,29 6,25 110, 130 13 0,1156 16,18 -3,18 0,63 130, 150 9 0,0452 6,33 2,67 1,13 150, + 4 0,0154 2,16 1,84 1,58 140 1 140 0 16,87 Последняя сумма соответствует искомому критерию . Данная выборка разбита на l = 7 интервалов. В нормальном распределении р = 2 подбираемых параметра математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Поэтому число степеней свободы в данном случае k = l p 1 = 7 2 1 = 4. При уровне значимости = 0,05 и найденному числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения 2 находим значение критерия Приложение 3. Т.к. , то нулевая гипотеза отвергается: распределение масс корзинок ромашки не является нормальным. Задание 2а. На массовых соревнованиях спортсмены-стрелки производят по 6 выстрелов. Ниже приведены их результаты количество попаданий по мишени: 6; 6; 3; 5; 4; 6; 6; 6; 6; 5; 6; 6; 4; 6; 4; 6; 5; 3; 4; 5; 3; 6; 4; 6; 6; 3; 4; 4; 5; 3; 4; 3; 4; 5; 4; 5; 6; 5; 5; 6; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 5; 5; 6; 6; 4; 5; 5; 6; 6; 4; 5; 6; 6; 5; 4; 4; 4; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 4; 5; 4; 3; 5; 5; 6; 6; 4; 6; 4; 6; 5; 4; 5; 4; 5; 5; 4; 6; 5; 4; 4; 4; 5; 6; 5; 5; 2; 5; 6; 3; 6; 5; 4; 5; 6; 6; 4; 3; 5; 5; 4; 3; 2; 4; 4; 5; 5; 6; 5; 6; 6; 6; 5; 4; 6; 5; 4; 5; 5; 3; 5; 4; 6; 5; 5; 4; 4; 1; 6; 6; 5; 5; 4; 5; 5; 6; 3; 6; 6; 4. По выборке объёма n = 160 составьте дискретный ряд распределения количества попаданий. Постройте полигон частот. Найдите среднее значение, выборочные дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану. При доверительной ве-роятности = 0,99 определите доверительный интервал для генеральной средней. Проверьте гипотезу о биномиальном распределении количества попаданий по данной выборке. Уровень значимости = 0,05. Решение. Данная случайная величина количество попаданий принимает значения от 1 до 6. Находим абсолютные частоты для всех этих значений подсчитываем, сколько стрелков имеют 1, 2, 3, 4, 5 и 6 попаданий в мишень. Заносим данные в таблицу 3. Рассчитываем по формуле значения отно-сительных частот и по формуле значения эмпирической функции распределения накопленные частоты. Таблица 3 xi 1 2 3 4 5 6 Абсолютная частота mi 1 3 13 42 52 49 Относительная частота wi 0,00625 0,01875 0,08125 0,2625 0,325 0,30625 Эмпирическая функция распределения Fx 0,00625 0,025 0,10625 0,36875 0,69375 1 Построим полигон частот рис. 3. После этого по формуле 2 вычисляем среднее выборочное числа попаданий: . По формулам 3 и 5 определяем выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение: . Т.к. объём выборки велик n = 160, то исправленную дисперсию можно не вычислять. Выборочная мода – это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту; в данном случае Mo = 5 частота этого значения 52. Выборочная медиана – срединное значение выборки; Me = 5 если все 160 значений случайной величины расположить в порядке возрастания, то в середине будет находиться именно это значение. Полуширина доверительного интервала для математического ожида-ния по формуле 11 равна , где коэффициент t взят из таблицы функции Лапласа Приложение 1 из условия Фt = 0,5 = 0,50,99 = 0,495. Тогда с вероятностью = 0,99 гене-ральное среднее числа попаданий стрелков лежит в интервале = 4,8 0,22 или 4,58 < 5,02. В заключении проверим гипотезу о том, что распределение числа попаданий является биномиальным: H0: распределение числа попаданий является биномиальным; H1: распределение числа попаданий не является биномиальным. Прежде всего, объединяем два первых интервала, добавив туда же значение числа попаданий, равное 0 см. таблицу 3, т.к. их эмпирические частоты mi меньше 4. Данные заносим в таблицу 4 столбец mi. Считаем, что данное распределение является биномиальным с матема-тическим ожиданием 4,80. Т.к. при биномиальном распределении MX = np, то вероятность попадания при одном выстреле будет равна . Тогда по формуле Бернулли находим вероятности 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6 попаданий: ; ; ; ; ; ; . Умножаем эти вероятности на объём выборки n = 160 и получаем теоретические частоты mi’. Заполняем два оставшихся столбца и находим суммы по столбцам. Таблица 4 xi mi pi mi’ mi – mi’ 0, 1, 2 4 0,01696 2,7136 1,2864 0,609826 3 13 0,081920 13,1072 -0,1072 0,000877 4 42 0,245760 39,3216 2,6784 0,18244 5 52 0,393216 62,91456 -10,9146 1,893483 6 49 0,262144 41,94304 7,05696 1,187341 160 1 160 0 3,874 Последняя сумма соответствует искомому критерию . Данная выборка разбита на l = 7 интервалов. В биномиальном распределении р = 1 подбираемых параметра вероятность появления события при одном испытании. Поэтому число степеней свободы в данном случае k = l p 1 = 7 1 1 = 5. При уровне значимости = 0,05 и найденному числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения 2 находим значение критерия Приложение 3. Т.к. , то нулевая гипотеза принимается: выборочные данные не противоречат тому, что распределение числа попаданий является бино-миальным. Задание 2б. В учётном журнале фиксируются вызовы ремонтной бригады. Студент-практикант построил вариационный ряд количества вызовов за смену: xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mi 12 28 43 38 15 6 6 1 1 Проверьте гипотезу о том, что количества вызовов за смену имеют распределение Пуассона. Уровень значимости = 0,1. Решение. По формуле 2 вычисляем среднее выборочное числа вызовов: . После этого проверим гипотезу о том, что количества вызовов за смену имеют распределение Пуассона: H0: число вызовов имеют распределение Пуассона; H1: число вызовов не имеют распределение Пуассона. Прежде всего, объединяем последние интервалы, т.к. их эмпирические частоты mi меньше 4. Данные заносим в таблицу 5 столбец mi. Считаем, что данное распределение является пуассоновским с матема-тическим ожиданием 2,46. Тогда по формуле Пуассона находим вероятности нужного числа вызовов: ; ; ; ; ; . Тогда вероятность того, что будет более 5 вызовов равна P>5 = 1 – P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = = 1 – 0,0854 + 0,2102 + 0,2585 + 0,2120 + 0,1304 + 0,0641 = 0,0394. Умножаем эти вероятности на объём выборки n = 160 и получаем теоретические частоты mi’. Заполняем два оставшихся столбца и находим суммы по столбцам. Таблица 5 xi mi pi mi’ mi – mi’ 0 12 0,0854 12,81 -0,81 0,051218 1 28 0,2102 31,53 -3,53 0,395208 2 43 0,2585 38,775 4,225 0,460364 3 38 0,2120 31,8 6,2 1,208805 4 15 0,1304 19,56 -4,56 1,063067 5 6 0,0641 9,615 -3,615 1,35915 >5 8 0,0394 5,91 2,09 0,739103 150 1 150 0 5,277 Последняя сумма соответствует искомому критерию . Данная выборка разбита на l = 7 интервалов. В распределении Пуассона р = 1 подбираемых параметра математическое ожидание. Поэтому число степеней свободы в данном случае k = l p 1 = 7 1 1 = 5. При уровне значимости = 0,1 и найденному числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения 2 находим значение критерия Приложение 3. Т.к. , то нулевая гипотеза принимается: выборочные данные не противоречат тому, что распределение числа вызовов является пуассо-новским. Задание 2в. Для статистического анализа некоторой случайной величины был построен вариационный ряд: xi 1 2 3 4 5 6 7 mi 26 21 18 32 26 26 31 Проверьте гипотезу о том, что данная случайная величина имеет равномерное дискретное распределение. Уровень значимости = 0,1. Решение. Выдвигаем основную и альтернативную гипотезы: H0: данная случайная величина имеет равномерное дискретное распределение; H1: данная случайная величина не имеет равномерное дискретное распределение. Считаем, что данное распределение является равномерным дискретным. Тогда вероятности всех значений этой величины одинаковы и равны k – количество значений случайной величины. Умножаем эту вероятности на объём выборки n = 180 и получаем теоретические частоты mi’ = 0,1429180 = 25,714 они также будут все одинаковыми. Заполняем два оставшихся столбца и находим суммы по столбцам. Таблица 6 xi mi pi mi’ mi – mi’ 1 26 0,1429 25,714 0,286 0,003181 2 21 0,1429 25,714 -4,714 0,864191 3 18 0,1429 25,714 -7,714 2,31414 4 32 0,1429 25,714 6,286 1,536665 5 26 0,1429 25,714 0,286 0,003181 6 26 0,1429 25,714 0,286 0,003181 7 31 0,1429 25,714 5,286 1,086637 180 1 180 0 5,811 Последняя сумма соответствует искомому критерию . Данная выборка разбита на l = 7 интервалов. Для дискретного равно-мерного распределения р = 0 подбираемых параметра нет. Поэтому число степеней свободы в данном случае k = l p 1 = 7 0 1 = 6. При уровне значимости = 0,1 и найденному числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения 2 находим значение критерия Приложение 3. Т.к. , то нулевая гипотеза принимается: выборочные данные не противоречат тому, что распределение данной случайной величины является равномерным дискретным. Задание 3. Из первого нарезного оружия было произведено 8 выстрелов. При этом измерялись начальные скорости пуль. Получены следующие результаты: 902,4; 901,3; 898,4; 903,5; 901,1; 900,4; 899,7 и 900,3 м/с. Из второго оружия было произведено 7 выстрелов. Скорости вылета пуль оказались равны 905,5; 910,3; 903,8; 902,4; 899,9; 903,3 и 905,6 м/с. Для обеих выборок вычислите среднее, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найдите размах варьирования, среднее абсолютное линейное отклонение, коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции. Предполагая, что данная случайная величина имеет нормальное распределение, определите доверительный интервал для генеральной средней в обоих случаях. По критерию Фишера проверьте гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. По критерию Стьюдента проверьте гипотезу о равенстве генеральных средних альтернативная гипотеза – об их неравенстве. Во всех расчётах уровень значимости = 0,05. Решение. По формулам 2-5 для первого оружия вычислим среднее значение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение: , . По формулам 6-5 для первого оружия находим другие характеристики вариации: размах варьирования R = xmax – xmin = 903,5 – 898,4 = 5,1; среднее абсолютное линейное отклонение коэффициент вариации ; линейный коэффициент вариации ; коэффициент осцилляции . Для доверительной вероятности = 0,95 уровень значимости = 0,05 по таблице критических точек распределения Стьюдента Приложение 2 при f = 8 – 1 = 7 степенях свободы находим значение коэффициента t = 2,36. Тогда полуширина доверительного интервала . И с вероятностью = 0,95 генеральное среднее начальной скорости пули лежит в интервале 900,76 1,24 м/с или 899,52; 902,00 м/с. Повторим все расчёты для второго оружия: , . R = ymax – ymin = 905,5 – 899,9 = 5,6; ; ; . Для доверительной вероятности = 0,95 уровень значимости = 0,05 по таблице критических точек распределения Стьюдента Приложение 2 при f = 7 – 1 = 6 степенях свободы находим значение коэффициента t = 2,45. Тогда полуширина доверительного интервала . И с вероятностью = 0,95 генеральное среднее начальной скорости пули лежит в интервале 902,69 1,63 м/с или 901,03; 904,32 м/с. Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий: H0: Dx = Dy; H1: Dx < Dy. Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера . f1 = nб – 1 = nу – 1 = 7 – 1 = 6 и f2 = nм – 1 = nх – 1 = 8 – 1 = 7 числа степеней свободы. По таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора Приложение 4 при уровне значимости = 0,05 и данным числам степеней свободы находим Fкр = 3,87. Т.к. Fэкс < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны. Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних: H0: ; H1: . Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента Число степеней свободы f = nх + nу – 2 = 8 + 7 – 2 = 13. По таблице критических точек распределения Стьюдента Приложение 2 при уровне значимости = 0,05 и данному числу степеней свободы находим tкр = 2,16. Т.к. tэкс > tкр, то нулевая гипотеза отвергается, генеральные средние двух выборок не равны. Задание 4. Во всех школах района проводилось тестирование старшеклассников по литературе и математике. Каждому ученику по обоим предметам выставлялись баллы. В районном отделе образования результаты были сведены в корреляционную таблицу: Таблица 7 x y 0 – 20 20 – 40 40 – 60 60 – 80 80 – 100 0 – 20 5 2 1 20 – 40 5 10 8 4 1 40 – 60 4 5 17 14 8 60 – 80 5 12 11 80 – 100 2 6 Здесь x – количество набранных баллов по математике, y – по литературе. Напишите уравнения прямой и обратной регрессий для данных величин. Постройте соответствующие графики. Найдите коэффициент корреляции рассматриваемых величин. По критерию Стьюдента проверьте гипотезу о существенности корреляционной связи, уровень значимости = 0,01. Решение. Снизу дополним исходную корреляционную таблицу 7 ещё одной строкой, в которой просуммируем значения по столбцам; аналогично, добавим справа столбец, где вычислим суммы по строкам таблица 8. Таблица 8 x y 0 – 20 20 – 40 40 – 60 60 – 80 80 – 100 mx 0 – 20 5 2 1 8 20 – 40 5 10 8 4 1 28 40 – 60 4 5 17 14 8 48 60 – 80 5 12 11 28 80 – 100 2 6 8 my 14 17 31 32 26 120 Таким образом, получены одномерные распределения обеих случайных величин. Теперь можно сосчитать средние значения, необходимые для расчёта коэффициентов 14: При нахождении этих значений в качестве значений xi и yj брались середины соответствующих интервалов. Теперь определим выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения: Тогда выборочные коэффициенты регрессий и корреляции по формулам 14: Уравнения прямой и обратной регрессий имеют следующий вид: . Рис. 4 На рис. 4 изображены линии регрессий. Проверим гипотезу о существенности корреляционной связи по критерию Стьюдента: H0: r = 0; H1: r = 0. Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента . Число степеней свободы f = n – 2 = 120 – 2 = 118. По таблице критических точек распределения Стьюдента Приложение 2 при уровне значимости = 0,01 и данному числу степеней свободы находим tкр = 2,62. Т.к. tэкс > tкр, то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции не равен нулю, а это означает, что рассматриваемые переменные баллы, набранные по литературе и математике существенно связаны друг с другом. Задание 5. На кафедре технологии при изготовлении таблеток изучается влияние на силу выталкивания различных разрыхляющих фактор А и связывающих фактор В веществ Полученные результаты приведены в таблице 9. Проведите двухфакторный дисперсионный анализ. При уровне значимости = 0,05 проверьте гипотезу о влиянии факторов А и В и их комбинации на указанный признак. Предварительно проверьте по критерию Кочрена равенство дисперсий в группах. Таблица 9 В1 В2 В3 В4 А1 28; 33 20; 29 42; 39 34; 30 А2 36; 26 38; 30 46; 47 42; 45 А3 90; 98 76; 75 64; 72 72; 77 Решение. Вычислим средние и исправленные дисперсии в каждой группе: x12 = 24,5; x13 = 40,5; x14 = 32; x21 = 31; x22 = 34; x23 = 46,5; x24 = 43,5; x31 = 94; x42 = 75,5; x33 = 68; x34 = 74,5; . Как видно из полученных результатов . Проверим гипотезу о равенстве групповых дисперсий по критерию Кочрена: H0: дисперсии равны; H1: дисперсии не равны. Найдём экспериментальное значение критерия Кочрена: Число степеней свободы f = n – 1 = 2 – 1 = 1, количество групп l = 12. По таблице критических точек распределения Кочрена Приложение 5 при уровне значимости = 0,05 и данному числу степеней свободы находим Gкр = 0,653. Т.к. Gэкс < Gкр, то нулевая гипотеза принимается на основании имеющихся данных нельзя отвергнуть гипотезу о равенстве групповых дисперсий. После этого проводим двухфакторный дисперсионный анализ. Для этого на основе таблицы 9 строим таблицу 10, в которой кроме исходных цифр находим их квадраты, а также всевозможные суммы по строкам и столбцам, а также внутри групп. Таблица 10 В1 В2 В3 В4 А1 28 784 20 400 42 1764 34 1156 33 1089 29 841 39 1521 30 900 61 49 81 64 255 1873 1241 3285 2056 8455 А2 36 1296 38 1444 46 2116 42 1764 26 676 30 900 47 2209 45 2025 62 68 93 87 310 1972 2344 4325 3789 12430 А3 90 8100 76 5776 64 4096 72 5184 98 9604 75 5625 72 5184 77 5929 188 151 136 149 624 17704 11401 9280 11113 49498 311 268 310 300 1189 21549 14986 16890 16958 70383 Таким образом, уже найдено значение Р = 70383. Другие величины: Тогда факторные и остаточная дисперсии равны: Число степеней свободы для фактора А fA = lA – 1 = 3 – 1 = 2, для фактора В fB = lB – 1 = 4 – 1 = 3, совместного влияния fAB = lA – 1lB – 1 = 23 = 6, f2 = lAlBq – 1 = 342 – 1 = 12. Для фактора А разрыхляющие вещества ; по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора Приложение 4 Fкр = 6,93; Fэкс > Fкр. Для фактора В связывающие вещества ; Fкр = 5,95; Fэкс < Fкр. Для совместного действия факторов ; Fкр = 4,82; Fэкс > Fкр. Таким образом, при уровне значимости 0,01 на силу выталкивания оказывают влияние разрыхляющие вещества и комбинация разрыхляющих и связывающих, но отдельно связывающие вещества на эту характеристику не влияют.