Специальное предложение

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Содержание:
  • 04 Июнь 2021
  • 9 минут
  • 536 663
  • 15

 

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

производная объяснение для чайников

Иначе это можно записать так:

высшая математика для чайников производные

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Геометрический смысл производной
 

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

смысл производной

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

производная для чайников в практическом применении

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

производная для чайников в практическом применении

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

производная для чайников в практическом применении

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Таблица производных
 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

найти производную функции для чайников

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

как найти производную для чайников

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

как найти производную для чайников

Решение:

как найти производную для чайников

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

как считать производные для чайников

Пример: найти производную функции:

как считать производные для чайников

Решение:Производная сложной функции

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

производная сложной функции для чайников

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

производная определение для чайников

Пример:

производная определение для чайников

Решение:

производная определение для чайников

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Навигация по статьям
Доверь свою работу кандидату наук!
  • 01
    Предоплата всего 25%
  • 02
    Шпаргалки в подарок!
  • 03
    Сопровождение до защиты
Узнай бесплатно стоимость работы
Посмотрите примеры наших работ
  • Педагогическая психология
    Педагогическая психология

    Саморегуляция эмоциональной сферы подростков - спортсменов хоккейной команды

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Время выполнения:

      5 дней

    • Стоимость заказа:

      2 400 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Экономика предприятия
    Экономика предприятия

    Факторы, влияющие на оборачиваемость дебиторской задолженности

    • Вид работы:

      Отчет по практике

    • Время выполнения:

      8 дней

    • Стоимость заказа:

      2 000 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Архитектура
    Архитектура

    Актуальность реновации для субъектов Российской Федерации

    • Вид работы:

      Реферат

    • Время выполнения:

      7 дней

    • Стоимость заказа:

      900 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Инновационный менеджмент
    Инновационный менеджмент

    Основная терминология инноваций

    • Вид работы:

      Презентации (PPT, PPS)

    • Время выполнения:

      2 дней

    • Стоимость заказа:

      2 500 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Психология личности
    Психология личности

    ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЬЮТОРСКОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО РАЗВИТИЯ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНИКА

    • Вид работы:

      Презентации (PPT, PPS)

    • Время выполнения:

      2 дней

    • Стоимость заказа:

      1 800 руб

    Смотреть работу в PDF