Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

производная объяснение для чайников

Иначе это можно записать так:

высшая математика для чайников производные

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

что такое производная функции для чайников
Геометрический смысл производной

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

смысл производной

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

производная для чайников в практическом применении

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

производная для чайников в практическом применении

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

производная для чайников в практическом применении

Математика. Производные для чайников
Математика. Производные для чайников

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Вам понравится:   Метод Крамера: решаем системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

нахождение производных для чайников
Таблица производных

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

найти производную функции для чайников

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

как найти производную для чайников

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

как найти производную для чайников

Решение:

как найти производную для чайников

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

как считать производные для чайников

Пример: найти производную функции:

как считать производные для чайников

Решение:

как считать производные для чайников

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

производная сложной функции для чайников

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Производная — это не всегда просто

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

производная определение для чайников

Пример:

производная определение для чайников

Решение:

производная определение для чайников

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам Вы можете обратиться к нашим авторам. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если Вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Иван
Иван
Автор

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Оцените материал:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд
5 комментариев Ноябрь 07, 2017 29 722
Не можешь написать работу сам? Доверь ее нашим авторам!
Осталось указать: Вид работы Тему E-mail
Пожалуйста, ожидайте...
Полное сопровождение до защиты
Шпаргалки для экзамена в подарок!
Предоплата всего 25%
5 комментария Написать комментарий
  • Николай Декабрь 10, 2017 в 6:27 пп

    Значит для чайников ? А вы на себя посмотрели ,самовары бля сидят деловые

  • Ева Январь 10, 2018 в 10:50 пп

    А я вот чайник, не отрицаю, но куда делся квадрат в знаменателе, я не понимаю, скажите, пожалуйста, что вы ошиблись))

    • Иван
      Иван Январь 11, 2018 в 5:58 пп

      И скажем! Действительно, потеряли степень. Спасибо за внимательность)

  • Макс Апрель 23, 2018 в 12:31 пп

    Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

    Стремится вместо стремиться. Я понимаю, математики тут сидят, но редактор-то не просто так работает))

    • Иван
      Иван Апрель 24, 2018 в 1:31 пп

      Макс, благодарим!

Ваш комментарий Отменить ответ

Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с Политикой конфиденциальности