Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Иван Иван Обновлено: 27 Ноябрь 2019 400 185 15 Время чтения: 9 минут

Доверь свою работу кандидату наук!

Содержание
Содержание

    Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

    Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

    Геометрический и физический смысл производной

    Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

    Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

    производная объяснение для чайников

    Иначе это можно записать так:

    высшая математика для чайников производные

    Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

    Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

    Геометрический смысл производной
     

    Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

    Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

    смысл производной

    Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

    производная для чайников в практическом применении

    Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

    Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

    производная для чайников в практическом применении

    Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

    производная для чайников в практическом применении

    Правила нахождения производных

    Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

    Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

    Таблица производных
     

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Правило первое: выносим константу

    Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

    Пример. Вычислим производную:

    найти производную функции для чайников

    Правило второе: производная суммы функций

    Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

    как найти производную для чайников

    Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

    Найти производную функции:

    как найти производную для чайников

    Решение:

    как найти производную для чайников

    Правило третье: производная произведения функций

    Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

    как считать производные для чайников

    Пример: найти производную функции:

    как считать производные для чайников

    Решение:Производная сложной функции

    Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

    В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

    производная сложной функции для чайников

    В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

    Правило четвертое: производная частного двух функций

    Формула для определения производной от частного двух функций:

    производная определение для чайников

    Пример:

    производная определение для чайников

    Решение:

    производная определение для чайников

    Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

    С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

    Оцените материал
    400 185 15
    Узнать стоимость
    Примеры работ

    Доверь свою работу кандидату наук!

    Ваш email уже зарегистрирован. Чтобы оформить заявку, пожалуйста, авторизуйтесь в личном кабинете.
    {$ $select.selected.title $}
    Осталось указать: Вид работы Тему Почту
    Я даю согласие на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности
    и принимаю условия договора публичной оферты
    = Полное сопровождение до защиты + Шпаргалки для экзамена в подарок! + Предоплата всего 25%
    Посмотрите примеры наших работ
    Мы выполнили 694 476 работ
    Управление персоналом
    Тема: «Теоретические характеристики обеспечения эффективных социально-трудовых отношений в современных экономико-управленческих процессах управления персоналом»
    Время выполения: 7 дней
    Стоимость заказа: 9 000 руб.
    Смотреть работу
    Экономическая социология
    Тема: «Проблемы и перспективы развития социальной защиты безработных в РФ»
    Время выполения: 8 дней
    Стоимость заказа: 9 500 руб.
    Смотреть работу
    Медицина
    Тема: «Гормональная фаза деятельности организма: состав и структурная организация эндокринной системы»
    Время выполения: 3 дней
    Стоимость заказа: 700 руб.
    Смотреть работу
    Психология
    Тема: «Виды психологического консультирования и их специфика»
    Время выполения: 2 дней
    Стоимость заказа: 500 руб.
    Смотреть работу
    Психология личности
    Тема: «Теоретические аспекты изучения готовности к выбору профессии и склонности к риску у старшеклассников с различным типом характера»
    Время выполения: 5 дней
    Стоимость заказа: 2 300 руб.
    Смотреть работу
    Педагогика
    Тема: «Основные возрастные особенности формирования учебной деятельности»
    Время выполения: 6 дней
    Стоимость заказа: 2 000 руб.
    Смотреть работу
    Экономика предприятия
    Тема: «Факторы, влияющие на оборачиваемость дебиторской задолженности»
    Время выполения: 8 дней
    Стоимость заказа: 2 000 руб.
    Смотреть работу
    Педагогическая психология
    Тема: «Отчет по психолого-педагогической практике»
    Время выполения: 9 дней
    Стоимость заказа: 2 300 руб.
    Смотреть работу
    Психология здоровья
    Тема: «Роль занятий физической культурой в процессе формирования психических качеств личности»
    Время выполения: 2 дней
    Стоимость заказа: 900 руб.
    Смотреть работу
    Гражданское право
    Тема: «Правомерное поведение, правонарушения и юридическая ответственность»
    Время выполения: 3 дней
    Стоимость заказа: 1 000 руб.
    Смотреть работу

    Контрольные, курсовые, дипломные

    от лучших специалистов

    Узнай стоимость
    Ваш email уже зарегистрирован. Чтобы оформить заявку, пожалуйста, авторизуйтесь в личном кабинете.
    {$ $select.selected.title $}
    Осталось указать: Вид работы Тему Почту
    Я даю согласие на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности
    и принимаю условия договора публичной оферты
    Комментарии (15)
    Написать комментарий
    Николай
    Значит для чайников ? А вы на себя посмотрели ,самовары бля сидят деловые
    Ева
    А я вот чайник, не отрицаю, но куда делся квадрат в знаменателе, я не понимаю, скажите, пожалуйста, что вы ошиблись))
    Иван
    Иван
    И скажем! Действительно, потеряли степень. Спасибо за внимательность)
    Макс
    Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Стремится вместо стремиться. Я понимаю, математики тут сидят, но редактор-то не просто так работает))
    Иван
    Иван
    Макс, благодарим!
    людмила
    спасибо, очень помогает в общении с учениками по физике, вас просто, наглядно и почти для них не страшно
    Иван
    Иван
    Людмила, спасибо! Нам приятно, что статья была полезной для Вас и Ваших учеников.
    Анна
    Спасибо за хорошую статью. Может подскажете какую-нибудь книгу для чайников ?) В школе и универе все знала, успешно участвовала в олимпиадах, а сейчас уже ничего не помню - "чистый лист".
    Иван
    Иван
    Анна, вот прям для чайников не подскажем, зато посоветуем "Основы математического анализа" в 2 частях. Авторы: В.А Ильин и Э.Г. Позняк. Если Вы в универе все знали, то вам это должно подойти. Книга старая, но написана очень толково.
    Николай
    f(g(x))’=f'(g)*g'(x) (cos(8x^5))’ = sin(8x^5) * 40x^4 = 40x^4*sin(8x^5) у вас 5 степень теряется при взятии производной в разделе "Правило третье: производная произведения функций"
    Иван
    Иван
    И правда. Поправили, спасибо за внимательность. За всеми степенями бывает и не уследишь)
    Дмитрий
    Если log a X ' = 1/ X ln a, то почему в последнем примере (log 3 (3x-7)) ' преобразуется в (3x-7)' / (3x-7)ln3 ???
    Иван
    Иван
    Собственно, по этой формуле и преобразуется. Другое дело, что это сложная функция, и вместо "икса" у нас выражение в скобках. Поэтому в числителе не 1, а производная выражения в скобках, которую тоже нужно вычислить.
    макс
    как решить производную??? у=(x^2 +1)*(x-2)
    Иван
    Иван
    По правилам нахождения производной
    Оставить комментарий
    Укажите: Имя E-mail Комментарий
    Пользователь с таким E-mail уже существует! Авторизуйтесь
    Вы уже наш клиент? Авторизуйтесь
    Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности