Решение производной для чайников: как найти, вычислить и понять с нуля

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Иван Иван Обновлено: 24 Июль 2018 125 866 11 Время чтения: 8 минут
Содержание
Содержание

    Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

    Геометрический и физический смысл производной

    Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

    Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

    производная объяснение для чайников

    Иначе это можно записать так:

    высшая математика для чайников производные

    Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

    Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

    Геометрический смысл производной
    Геометрический смысл производной

    Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

    Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

    смысл производной

    Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

    производная для чайников в практическом применении

    Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

    Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

    производная для чайников в практическом применении

    Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

    производная для чайников в практическом применении

    Математика. Производные для чайников
    Математика. Производные для чайников

    Правила нахождения производных

    Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

    Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

    Таблица производных
    Таблица производных

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Правило первое: выносим константу

    Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

    Пример. Вычислим производную:

    найти производную функции для чайников

    Правило второе: производная суммы функций

    Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

    как найти производную для чайников

    Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

    Найти производную функции:

    как найти производную для чайников

    Решение:

    как найти производную для чайников

    Правило третье: производная произведения функций

    Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

    как считать производные для чайников

    Пример: найти производную функции:

    как считать производные для чайников

    Решение:Производная сложной функции

    Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

    В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

    производная сложной функции для чайников

    В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

    Производная - это не всегда просто
    Производная - это не всегда просто

    Правило четвертое: производная частного двух функций

    Формула для определения производной от частного двух функций:

    производная определение для чайников

    Пример:

    производная определение для чайников

    Решение:

    производная определение для чайников

    Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

    С любым вопросом по этой и другим темам Вы можете обратиться к нашим авторам. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если Вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

    Оцените материал
    125 866 11
    Узнать стоимость
    Примеры работ
    Посмотрите примеры наших работ
    Мы выполнили 552 885 работ
    Управление персоналом
    Тема: «Теоретические характеристики обеспечения эффективных социально-трудовых отношений в современных экономико-управленческих процессах управления персоналом»
    Время выполения: 7 дней
    Стоимость заказа: 9 000 руб.
    Смотреть работу
    Экономическая социология
    Тема: «Проблемы и перспективы развития социальной защиты безработных в РФ»
    Время выполения: 8 дней
    Стоимость заказа: 9 500 руб.
    Смотреть работу
    Медицина
    Тема: «Гормональная фаза деятельности организма: состав и структурная организация эндокринной системы»
    Время выполения: 3 дней
    Стоимость заказа: 700 руб.
    Смотреть работу
    Психология
    Тема: «Виды психологического консультирования и их специфика»
    Время выполения: 2 дней
    Стоимость заказа: 500 руб.
    Смотреть работу
    Психология личности
    Тема: «Теоретические аспекты изучения готовности к выбору профессии и склонности к риску у старшеклассников с различным типом характера»
    Время выполения: 5 дней
    Стоимость заказа: 2 300 руб.
    Смотреть работу
    Педагогика
    Тема: «Основные возрастные особенности формирования учебной деятельности»
    Время выполения: 6 дней
    Стоимость заказа: 2 000 руб.
    Смотреть работу
    Экономика предприятия
    Тема: «Факторы, влияющие на оборачиваемость дебиторской задолженности»
    Время выполения: 8 дней
    Стоимость заказа: 2 000 руб.
    Смотреть работу
    Педагогическая психология
    Тема: «Отчет по психолого-педагогической практике»
    Время выполения: 9 дней
    Стоимость заказа: 2 300 руб.
    Смотреть работу
    Психология здоровья
    Тема: «Роль занятий физической культурой в процессе формирования психических качеств личности»
    Время выполения: 2 дней
    Стоимость заказа: 900 руб.
    Смотреть работу
    Гражданское право
    Тема: «Правомерное поведение, правонарушения и юридическая ответственность»
    Время выполения: 3 дней
    Стоимость заказа: 1 000 руб.
    Смотреть работу
    Комментарии (11)
    Написать комментарий
    Николай
    Значит для чайников ? А вы на себя посмотрели ,самовары бля сидят деловые
    Ева
    А я вот чайник, не отрицаю, но куда делся квадрат в знаменателе, я не понимаю, скажите, пожалуйста, что вы ошиблись))
    Иван
    И скажем! Действительно, потеряли степень. Спасибо за внимательность)
    Макс
    Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Стремится вместо стремиться. Я понимаю, математики тут сидят, но редактор-то не просто так работает))
    Иван
    Макс, благодарим!
    людмила
    спасибо, очень помогает в общении с учениками по физике, вас просто, наглядно и почти для них не страшно
    Иван
    Людмила, спасибо! Нам приятно, что статья была полезной для Вас и Ваших учеников.
    Анна
    Спасибо за хорошую статью. Может подскажете какую-нибудь книгу для чайников ?) В школе и универе все знала, успешно участвовала в олимпиадах, а сейчас уже ничего не помню - "чистый лист".
    Иван
    Анна, вот прям для чайников не подскажем, зато посоветуем "Основы математического анализа" в 2 частях. Авторы: В.А Ильин и Э.Г. Позняк. Если Вы в универе все знали, то вам это должно подойти. Книга старая, но написана очень толково.
    Николай
    f(g(x))’=f'(g)*g'(x) (cos(8x^5))’ = sin(8x^5) * 40x^4 = 40x^4*sin(8x^5) у вас 5 степень теряется при взятии производной в разделе "Правило третье: производная произведения функций"
    Иван
    И правда. Поправили, спасибо за внимательность. За всеми степенями бывает и не уследишь)
    Оставить комментарий
    {$ errors.username[0] $}
    Вы уже наш клиент? Авторизуйтесь.
    {$ errors.email[0] $}
    Пользователь с таким email уже существует! Авторизуйтесь.
    {$ errors.content[0] $}
    Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности