Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Иван Иван Обновлено: 27 Ноябрь 2019 662 799 26 Время чтения: 10 минут

Доверь свою работу кандидату наук!

Содержание
Содержание

    Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

    Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

    Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

    Изучаем понятие «интеграл»

    Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

    Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

    Неопределенный интеграл

    Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

    Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

    математика для чайников интегралы

    Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

    Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

    Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

    Простой пример:

    найти интегралы для чайников

    Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

    Полная таблица интегралов для студентов

    Первообразные элементарных функций

    Определенный интеграл

    Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

    В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

    Определенный интеграл - площадь фигуры

    Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


    Точки а и b называются пределами интегрирования.

    Бари Алибасов и группа
    Бари Алибасов и группа

    «Интеграл»

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Правила вычисления интегралов для чайников

    Свойства неопределенного интеграла

    Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

    • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

    как решать определенный интеграл для чайников

    • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

    интегралы начало

    • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

    как решать интегралы для чайников

    Свойства определенного интеграла

    • Линейность:

    интегралы для чайников подробно

    • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

    интегралы для чайников подробно

    • При любых точках a, b и с:

    высшая математика для чайников интегралы

    Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

    Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

    Формула Ньютона-Лейбница

    Примеры решения интегралов

    Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

    Примеры

    Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

    Оцените материал
    662 799 26

    Доверь свою работу кандидату наук!

    Пожалуйста, убедитесь, что вводите e-mail верно
    {$ $select.selected.title $}
    Осталось указать: Вид работы Тему Почту
    Я даю согласие на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности и принимаю условия договора публичной оферты
    = Полное сопровождение до защиты + Шпаргалки для экзамена в подарок! + Предоплата всего 25%

    Контрольные, курсовые, дипломные

    от лучших специалистов

    Узнай стоимость
    Пожалуйста, убедитесь, что вводите e-mail верно
    {$ $select.selected.title $}
    Осталось указать: Вид работы Тему Почту
    Я даю согласие на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности и принимаю условия договора публичной оферты
    Комментарии (26)
    Написать комментарий
    Георгий
    По какому принципу меняется dx на d(9+16x⁴) ?
    Иван
    Иван
    Георгий, выражение вносится под знак дифференциала, чтобы в итоге получился табличный интеграл, который легко посчитать.
    Александр
    Это не ответ на заданный вопрос ... Вас попросили объяснить механизм занесения выражения под дифференциал - не все сразу могут понять ...
    Иван
    Иван
    Александр, все же, блог предполагает не глубокое объяснение самых основ. Если Вы решили всерьез разобраться с методом поднесения под знак дифференциала, надеемся, что <a href="https://www.zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/metod-podvedenija-pod-znak-differentsiala-pri-inte/" target="_blank" rel="noopener nofollow">здесь</a> Вы найдете нужный Вам ответ и нужные примеры.
    vet
    георгий,это называется метод подстановки
    Милена
    добрый день! почему когда мы интегрируем с y, нет в конце "+С"? (уравнение с 2 переменными)
    Иван
    Иван
    Добрый день, Милена! Можете уточнить, какой именно пример вы имеете в виду?
    ввввыв
    так что это вообще такое даите мне нормальное обьяснение 1 примера
    ввввыв
    почему 1/4 вдруг привратилась в 1/64 ,аа???
    Иван
    Иван
    ввввыв, не вдруг, а вполне логично превратилось: https://zaochnik.ru/blog/wp-content/uploads/2018/06/ответ.JPG.jpg
    Иван
    Иван
    В примере используется метод подстановки. Откуда берется дробь 1/64 смотрите на картинке.
    Маргарита
    Спасибо, Иван. Всё очень доступно и понятно объяснили.
    Алексей
    А откуда в первом примере 1/4 взялась. Только это мне непонятно
    Иван
    Иван
    Выражение 4*x^3 подводим под знак дифференциала: 4x3 = d(x4), t=x4
    Захар
    Спасибо большое за статью! Очень понятно и доступно!
    Danial
    Почему я учусь в 8 классе и это так не понятно.(
    Иван
    Иван
    потому что интегралы проходят в 11 классе)
    Донел
    Мда, вторую неделю пытаюсь понять это, никак... А училка мозги е-т. Не дано мне видать, в упор смотрю, и понять ничего не могу
    Иван
    Иван
    Две недели еще не такой большой срок. Перед интегралами обязательно разберитесь с производной. Надеемся, у Вас все получится, удачи!
    Сергей
    Ваша ссылка не открывается
    Иван
    Иван
    Сергей, какая именно? Мы проверили, у нас все открылись. Попробуйте открыть в другом браузере.
    MCdT
    Я тоже в восьмом классе учусь, мне все понятно)
    Максим
    Иван, дробрый день! Подскажите, если определенный интеграл имеет вид S(7x^6+5^x+4c^x)dx то "с" - это некая константа в примере? Если да, то тогда ответ должен иметь вид x^7+5^x/ln5+4c^x/lnc ??? Заранее спасибо за помощь.
    Иван
    Иван
    Здравствуйте! Если в условии ничего другого не сказано, с логичнее всего принять за некоторую константу. Тогда, в соответствии с таблицей интегралов, ответ будет выглядеть так: x^7+5^x/ln5+(4c)^x/ln(4c)
    fofofoo
    Хорошая статья!
    Иван
    Иван
    Спасибо!
    Оставить комментарий
    Укажите: Имя E-mail Комментарий
    Пользователь с таким E-mail уже существует! Авторизуйтесь
    Вы уже наш клиент? Авторизуйтесь
    Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности