Интегралы для чайников: как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Иван Иван Обновлено: 24 Июль 2018 165 764 17 Время чтения: 8 минут
Содержание
Содержание

    как решать интегралы примеры решения для чайников

    Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

    Изучаем понятие "интеграл"

    Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о пределах и производных Вы найдете у нас в блоге.

    Неопределенный интеграл

    Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

    Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

    математика для чайников интегралы

    Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

    Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц
    Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

    Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

    Простой пример:

    найти интегралы для чайников

    Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

    Первообразные элементарных функций
    Первообразные элементарных функций

    Определенный интеграл

    Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

    В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

    Определенный интеграл - площадь фигуры
    Определенный интеграл - площадь фигуры

    С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


    Точки а и b называются пределами интегрирования.

    Бари Алибасов и группа
    Бари Алибасов и группа "Интеграл"

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Правила вычисления интегралов для чайников

    Свойства неопределенного интеграла

    Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

    • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

    как решать определенный интеграл для чайников

    • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

    интегралы начало

    • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

    как решать интегралы для чайников

     

    Свойства определенного интеграла

    • Линейность:

    интегралы для чайников подробно

    • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

    интегралы для чайников подробно

    • При любых точках a, b и с:

    высшая математика для чайников интегралы

    Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

    Мы уже выяснили, что определенный интеграл  - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

    Формула Ньютона-Лейбница

    Примеры решения интегралов

    Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

    Примеры
    Примеры

    Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу.  Спросите авторов нашей компании, и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

    Оцените материал
    165 764 17
    Узнать стоимость
    Примеры работ
    Посмотрите примеры наших работ
    Мы выполнили 552 896 работ
    Управление персоналом
    Тема: «Теоретические характеристики обеспечения эффективных социально-трудовых отношений в современных экономико-управленческих процессах управления персоналом»
    Время выполения: 7 дней
    Стоимость заказа: 9 000 руб.
    Смотреть работу
    Экономическая социология
    Тема: «Проблемы и перспективы развития социальной защиты безработных в РФ»
    Время выполения: 8 дней
    Стоимость заказа: 9 500 руб.
    Смотреть работу
    Медицина
    Тема: «Гормональная фаза деятельности организма: состав и структурная организация эндокринной системы»
    Время выполения: 3 дней
    Стоимость заказа: 700 руб.
    Смотреть работу
    Психология
    Тема: «Виды психологического консультирования и их специфика»
    Время выполения: 2 дней
    Стоимость заказа: 500 руб.
    Смотреть работу
    Психология личности
    Тема: «Теоретические аспекты изучения готовности к выбору профессии и склонности к риску у старшеклассников с различным типом характера»
    Время выполения: 5 дней
    Стоимость заказа: 2 300 руб.
    Смотреть работу
    Педагогика
    Тема: «Основные возрастные особенности формирования учебной деятельности»
    Время выполения: 6 дней
    Стоимость заказа: 2 000 руб.
    Смотреть работу
    Экономика предприятия
    Тема: «Факторы, влияющие на оборачиваемость дебиторской задолженности»
    Время выполения: 8 дней
    Стоимость заказа: 2 000 руб.
    Смотреть работу
    Педагогическая психология
    Тема: «Отчет по психолого-педагогической практике»
    Время выполения: 9 дней
    Стоимость заказа: 2 300 руб.
    Смотреть работу
    Психология здоровья
    Тема: «Роль занятий физической культурой в процессе формирования психических качеств личности»
    Время выполения: 2 дней
    Стоимость заказа: 900 руб.
    Смотреть работу
    Гражданское право
    Тема: «Правомерное поведение, правонарушения и юридическая ответственность»
    Время выполения: 3 дней
    Стоимость заказа: 1 000 руб.
    Смотреть работу
    Комментарии (17)
    Написать комментарий
    Георгий
    По какому принципу меняется dx на d(9+16x⁴) ?
    Иван
    Георгий, выражение вносится под знак дифференциала, чтобы в итоге получился табличный интеграл, который легко посчитать.
    Александр
    Это не ответ на заданный вопрос ... Вас попросили объяснить механизм занесения выражения под дифференциал - не все сразу могут понять ...
    Иван
    Александр, все же, блог предполагает не глубокое объяснение самых основ. Если Вы решили всерьез разобраться с методом поднесения под знак дифференциала, надеемся, что <a href="https://www.zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/metod-podvedenija-pod-znak-differentsiala-pri-inte/" target="_blank" rel="noopener nofollow">здесь</a> Вы найдете нужный Вам ответ и нужные примеры.
    vet
    георгий,это называется метод подстановки
    Милена
    добрый день! почему когда мы интегрируем с y, нет в конце "+С"? (уравнение с 2 переменными)
    Иван
    Добрый день, Милена! Можете уточнить, какой именно пример вы имеете в виду?
    ввввыв
    так что это вообще такое даите мне нормальное обьяснение 1 примера
    ввввыв
    почему 1/4 вдруг привратилась в 1/64 ,аа???
    Иван
    ввввыв, не вдруг, а вполне логично превратилось: https://zaochnik.ru/blog/wp-content/uploads/2018/06/ответ.JPG.jpg
    Иван
    В примере используется метод подстановки. Откуда берется дробь 1/64 смотрите на картинке.
    Маргарита
    Спасибо, Иван. Всё очень доступно и понятно объяснили.
    Алексей
    А откуда в первом примере 1/4 взялась. Только это мне непонятно
    Иван
    Выражение 4*x^3 подводим под знак дифференциала: 4x3 = d(x4), t=x4
    Захар
    Спасибо большое за статью! Очень понятно и доступно!
    Danial
    Почему я учусь в 8 классе и это так не понятно.(
    Иван
    потому что интегралы проходят в 11 классе)
    Оставить комментарий
    {$ errors.username[0] $}
    Вы уже наш клиент? Авторизуйтесь.
    {$ errors.email[0] $}
    Пользователь с таким email уже существует! Авторизуйтесь.
    {$ errors.content[0] $}
    Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности