Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов — задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о пределах и производных Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

математика для чайников интегралы

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

математика интегралы для тупых
Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

найти интегралы для чайников

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

производные и интегралы для чайников
Первообразные элементарных функций

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

Вам понравится:   Бухгалтерия для всех: как быстро выучить и понять бухгалтерский учет самостоятельно

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

интеграл объяснение для тупых
Определенный интеграл — площадь фигуры

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.

интеграл и дифференциал для чайников
Бари Алибасов и группа «Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

как решать определенный интеграл для чайников

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

интегралы начало

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

как решать интегралы для чайников

 

Свойства определенного интеграла

  • Линейность:

интегралы для чайников подробно

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

интегралы для чайников подробно

  • При любых точках a, b и с:

высшая математика для чайников интегралы

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл  — это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Формула Ньютона-Лейбница

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

как решать интегралы для чайников примеры
Примеры

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу.  Спросите авторов нашей компании, и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван
Иван
Автор

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Оцените материал:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд
2 комментария Ноябрь 20, 2017 46 975
Не можешь написать работу сам? Доверь ее нашим авторам!
Осталось указать: Вид работы Тему E-mail
Пожалуйста, ожидайте...
Полное сопровождение до защиты
Шпаргалки для экзамена в подарок!
Предоплата всего 25%
2 комментария Написать комментарий
  • Георгий Май 21, 2018 в 1:36 пп

    По какому принципу меняется dx на d(9+16x⁴) ?

    • Иван
      Иван Май 21, 2018 в 4:44 пп

      Георгий, выражение вносится под знак дифференциала, чтобы в итоге получился табличный интеграл, который легко посчитать.

Ваш комментарий Отменить ответ

Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с Политикой конфиденциальности