Интегралы для чайников: как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Иван Иван 20 Ноябрь 2017 93 622 12
Содержание
Содержание

    как решать интегралы примеры решения для чайников

    Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

    Изучаем понятие "интеграл"

    Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о пределах и производных Вы найдете у нас в блоге.

    Неопределенный интеграл

    Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

    Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

    математика для чайников интегралы

    Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

    Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц
    Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

    Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

    Простой пример:

    найти интегралы для чайников

    Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

    Первообразные элементарных функций
    Первообразные элементарных функций

    Определенный интеграл

    Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

    В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

    Определенный интеграл - площадь фигуры
    Определенный интеграл - площадь фигуры

    С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


    Точки а и b называются пределами интегрирования.

    Бари Алибасов и группа
    Бари Алибасов и группа "Интеграл"

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Правила вычисления интегралов для чайников

    Свойства неопределенного интеграла

    Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

    • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

    как решать определенный интеграл для чайников

    • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

    интегралы начало

    • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

    как решать интегралы для чайников

     

    Свойства определенного интеграла

    • Линейность:

    интегралы для чайников подробно

    • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

    интегралы для чайников подробно

    • При любых точках a, b и с:

    высшая математика для чайников интегралы

    Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

    Мы уже выяснили, что определенный интеграл  - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

    Формула Ньютона-Лейбница

    Примеры решения интегралов

    Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

    Примеры
    Примеры

    Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу.  Спросите авторов нашей компании, и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

    Оцените материал
    93 622 12
    Комментарии (12)
    Аноним
    По какому принципу меняется dx на d(9+16x⁴) ?
    Иван
    Георгий, выражение вносится под знак дифференциала, чтобы в итоге получился табличный интеграл, который легко посчитать.
    Алексей
    Это не ответ на заданный вопрос ... Вас попросили объяснить механизм занесения выражения под дифференциал - не все сразу могут понять ...
    Иван
    Александр, все же, блог предполагает не глубокое объяснение самых основ. Если Вы решили всерьез разобраться с методом поднесения под знак дифференциала, надеемся, что <a href="https://www.zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/metod-podvedenija-pod-znak-differentsiala-pri-inte/" target="_blank" rel="noopener nofollow">здесь</a> Вы найдете нужный Вам ответ и нужные примеры.
    Эдуард
    георгий,это называется метод подстановки
    Елена
    добрый день! почему когда мы интегрируем с y, нет в конце "+С"? (уравнение с 2 переменными)
    Иван
    Добрый день, Милена! Можете уточнить, какой именно пример вы имеете в виду?
    Олег
    так что это вообще такое даите мне нормальное обьяснение 1 примера
    Олег
    почему 1/4 вдруг привратилась в 1/64 ,аа???
    Иван
    ввввыв, не вдруг, а вполне логично превратилось: https://zaochnik.ru/blog/wp-content/uploads/2018/06/ответ.JPG.jpg
    Иван
    В примере используется метод подстановки. Откуда берется дробь 1/64 смотрите на картинке.
    Анастасия
    Спасибо, Иван. Всё очень доступно и понятно объяснили.
    Оставить комментарий
    {$ errors.username[0] $}
    Вы уже наш клиент? Авторизуйтесь.
    {$ errors.email[0] $}
    Пользователь с таким email уже существует! Авторизуйтесь.
    {$ errors.content[0] $}
    Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности