Специальное предложение

Частные производные первого, второго и третьего порядка: понятия и примеры решений

Содержание:
  • 12 Январь 2021
  • 6 минут
  • 23 444

Чтобы понять частные производные, сначала нужно разобраться с обычными. И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.

Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.

Функция двух и более переменных

Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной: 

Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.

А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:

Это – функция двух независимых переменных x и y. График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:

Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Частная производная второго порядка

Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.

По иксу:

По игреку:

Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:

  1. При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
  2. Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

Частные производные и полный дифференциал функции

Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.

Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:

Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.

Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.

Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!

Навигация по статьям
Доверь свою работу кандидату наук!
  • 01
    Предоплата всего 25%
  • 02
    Шпаргалки в подарок!
  • 03
    Сопровождение до защиты
Узнай бесплатно стоимость работы
Посмотрите примеры наших работ
  • Экономика предприятия
    Экономика предприятия

    Факторы, влияющие на оборачиваемость дебиторской задолженности

    • Вид работы:

      Отчёт по практике

    • Время выполнения:

      8 дней

    • Стоимость заказа:

      2 000 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Педагогическая психология
    Педагогическая психология

    Отчет по психолого-педагогической практике

    • Вид работы:

      Отчёт по практике

    • Время выполнения:

      9 дней

    • Стоимость заказа:

      2 300 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Инновационный менеджмент
    Инновационный менеджмент

    Основная терминология инноваций

    • Вид работы:

      Презентации (PPT, PPS)

    • Время выполнения:

      2 дней

    • Стоимость заказа:

      2 500 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Экономика предприятия
    Экономика предприятия

    ПОНЯТИЕ ТОЧКИ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ, ХАРАКТЕРИСТИКА ПОСТОЯННЫХ И ПЕРЕМЕННЫХ ЗАТРАТ

    • Вид работы:

      Презентации (PPT, PPS)

    • Время выполнения:

      3 дней

    • Стоимость заказа:

      3 000 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Основы теории сварки и резки металлов
    Основы теории сварки и резки металлов

    Определение длины отвода и толщины пучинных подкладок

    • Вид работы:

      Чертёж

    • Время выполнения:

      2 дней

    • Стоимость заказа:

      1 500 руб

    Смотреть работу в PDF