Задачи на применение закона Био-Савара-Лапласа с решением

Закон Био-Савара-Лапласа в магнитостатике – примерно то же самое, что и закон Кулона в электростатике. С помощью этого закона определяется индукция магнитного поля, созданного постоянным электрическим током. В сегодняшней статье разберем несколько примеров решения задач по магнитостатике на применение закона Био-Савара-Лапласа.

Присоединяйтесь к нам в телеграме, чтобы вовремя получать полезную рассылку и актуальные новости. А еще, не пропустите приятные скидки и акции на нашем втором канале.

Закон Био-Савара-Лапласа: решение задач

В нашем блоге есть материалы, которые помогут справиться с задачами по разным темам:

1. Общая памятка по решению физических задач.
2. Более 40 формул по физике. 

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №1

Условие 

Прямой провод согнут в виде квадрата со стороной а=8 см. Какой силы ток надо пропустить по проводнику, чтобы напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей была 20 А/м?

Решение

Согласно принципу суперпозиции напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата будет равна сумме напряженностей, которые создают стороны. Поскольку стороны одинаковые, то:

$H=4H_1=\frac{4B_1}{{\mu }_0}$

Будем использовать формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого провода с током (выводится из закона Био-Савара-Лапласа):

$$\begin{gathered} B=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I}{r_0}\cos \alpha \\ {B}_1=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\cos \alpha =\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I}{{\displaystyle a}}\cos \alpha , \alpha =45° \end{gathered}$$

Тогда для напряженности в точке пересечения диагоналей получим:

$Н=\frac{4}{\pi }\frac{I}{a}\cos \alpha$

Отсюда можем выразить ток:

$I=\frac{\pi aH}{4\cos \alpha }=\frac{3,14\times 0,08\times 20}{4\cos 45}=1,78 А$  

Ответ: 1,78 А.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №2

Условие

Используя закон Био-Савара-Лапласа, определите магнитную индукцию в вакууме B поля в центре кругового проводника радиусом 10 см, если сила тока в проводнике равна 5 A.

Решение

Модуль магнитной индукции в центре кругового тока вычисляется по формуле:

$$\begin{gathered} B=\frac{{\mu }_0\mu I}{2r} \\ \mu =1 - магнитная проницаемость для вакуума \\ {\mu }_0=1,25\times {10}^{-6 }\raisebox{1ex}{$Гн$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$м$}\right. - магнитная постоянная \end{gathered}$$

Вычислим индукцию:

$В=\frac{1,25\times {10}^{-6}\times 1\times 5}{2\times 0,1}=3,1\times {10}^{-5} Тл$

Ответ: 0,31 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №3

Условие

Используя закон Био-Савара-Лапласа выведите формулу для индукуии из предыдущей задачи.

Решение

Пусть ток идет по тонкому проводу в форме окружности, имеющей радиус R.

Разобъем провод на бесконечно малые элементы dl. Каждый такой элемент создает в центре окружности индукцию dB, направленную вдоль положительной нормали к контуру. По закону Био-Савара-Лапласа:

$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin \alpha }{r^2}$

Угол альфа между векторами r и Idl равен 90 градусам, а r=R. Тогда, можно записать:

Интегрируя это выражение по контуру, получим:

Ответ: см. выше.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №4

Условие

По квадратной рамке со стороной a=0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Решение

Будем рассматривать каждую из четырех сторон рамки, как отдельный проводник, создающий в ее центре магнитную индукцию. Направление векторно-магнитной индукции определяется по правилу правого винта: все векторы направлены в одну сторону, перпендикулярно рамке.

Найдем индукцию, создаваемую одной стороной рамки:

$B_1=\frac{\mu {\mu }_{0}I}{4\pi r}(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2)$

$$\begin{gathered} r=\frac{a}{2} \\ {\alpha }_1=45° \\ {\alpha }_2=135° \\ {В}_1=\frac{\mu {\mu }_{0}I}{2\pi a}(\cos 45-\cos 135) \end{gathered}$$

По принципу суперпозиции, запишем формулу для общей индукции в центре рамки и вычислим:

$$\begin{gathered} B=4B_1=\frac{2\mu {\mu }_{0}I}{\pi a}(\cos 45-\cos 135) \\ B=\frac{1\times 1,25\times {10}^{-6}\times 4}{2\times 3,14\times 0,2}(0,707+0,707)=22,6\times {10}^{-6} Тл \end{gathered}$$

Ответ: 22,6 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №5

Условие

Проводник согнут в виде правильного треугольника со стороной а=20 см. Какой ток протекает по периметру треугольника, если в его центре напряженность поля равна Н = 71,64 А/м?

Решение

Условно разбиваем проводник на три проводника, каждый из которых создает магнитное поле. По закону Био – Савара – Лапласа элемент контура dl, по которому течет ток I, создает в некоторой точке А пространства магнитное поле напряженностью:

$d{H}_0=\frac{I\sin \alpha }{4\pi r^2}dl$

r – расстояние от точки А до элемента тока dl, α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl. Напряженность магнитного поля в точке О будет равна:

${Н}_0={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{I\sin \alpha }{4\pi r^2}dl$

Учтем, что:

$$\begin{gathered} l=b\times ctg\alpha \\ dl=\frac{-bd\alpha }{{\sin }^2\alpha } \\ r=\frac{b}{\sin \alpha } \end{gathered}$$

Теперь выражение для напряженности можно переписать в следующем виде:

$$\begin{gathered} H_0=-\frac{I}{4\pi b}{\int }_{\alpha 1}^{\alpha 2}\sin \alpha d\alpha =\frac{I}{4\pi b}\left(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2\right) \\ b=\frac{a}{2}tg\alpha \\ {H}_0=\frac{I}{2\pi \times a\times tg\alpha }\left(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2\right) \end{gathered}$$

Из рисунка видно, что угол α1 равен 30 градусам, а угол α2 = 150. Очевидно, что результирующая напряженность:

$Н=3{Н}_0$

$Н=\frac{3I}{2\pi \times a\times tg30}\left(\cos 30-\cos 150\right)$

Отсюда найдем ток:

$I=\frac{2\pi H\times a\times tg30}{3(\cos 30-\cos 150)}=\frac{2\times 3,14\times 71,64\times 0,2\times 0,577}{3(0,866+0,866)}=10А$

Ответ: 10 А.

Вопросы на закон Био-Савара-Лапласа

Вопрос 1. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа

Ответ. Закон Био-Савара-Лапласа гласит:

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока.

$\stackrel{\rightharpoonup }{B}=\underset{i}{\sum {\stackrel{\rightharpoonup }{B}}_i}$

Элементарный участок dl с током I создает магнитную индукцию:

$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin \alpha }{r^2}$

Здесь альфа — угол между радиусом-вектором и направлением тока в проводнике.

Вопрос 2. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция — векторная физическая величина, силовая характеристика магнитного поля. Определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем.

Вопрос 3. Сформулируйте теорему о циркуляции магнитной индукции.

Ответ. Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур:

$\oint Вdl={\mu }_0\sum _i{I}_i$

Вопрос 4. Как определяется направление вектора магнитной индукции?

Ответ. Направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика (правого винта):

Направление вращения головки винта дает направление вектора магнитной индукции, поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Вопрос 5. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность — векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M. Связана с индукцией формулой:

$\stackrel{\rightharpoonup }{H}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{B}}{{\mu }_0}$

Нужна помощь в решении задач и выполнении других заданий? Профессиональный сервис для учащихся всегда к вашим услугам.