Задачи на теорему о циркуляции магнитного поля с решением

Продолжаем разбираться с задачами по физике. На этот раз рассмотрим примеры решения задач на тему «Циркуляция магнитного поля». 

Заходите в наш телеграм – там найдутся интересные новости и лайфхаки для каждого студента. А еще, у нас есть канал со скидками и акциями, не упустите выгоду!

Теорема о циркуляции магнитного поля, задачи

Прежде, чем мы начнем разбирать примеры решений, напомним про полезные формулы и универсальную памятку по физическим задачам. И обязательно почитайте теорию по теме!

Задача №1 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Соленоид длиной l=0,5 м содержит N= 1000 витков. Определить магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если сопротевление его обмоток =120 Ом , а напряжение на ее концах U= 60В.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитного поля:

$$\begin{gathered} \oint Bdl={\mu }_0\sum _i{I}_i \\ Bl={\mu }_{0}IN \end{gathered}$$

По закону Ома:

$I=\frac{U}{R}$

Отсюда запишем соотношение для магнитной индукции:

$B=\frac{{\mu }_{0}UN}{Rl}=\frac{1,25·{10}^{-6}·60·1000}{120·0,5}=1,25·{10}^{-6}Тл$

Ответ: 1,25 мкТл.

Задача №2 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника. Тороид содержит N=200 витков, а по его обмотке протекает ток 2 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний – 40 см.

Решение

Вычислим циркуляцию вектора B по осевой линии:

$$\begin{gathered} \oint Bdl=\underset{i}{{\mu }_0\sum I} \\ B·2\pi r={\mu }_{0}NI \end{gathered}$$

Здесь r – разность между внешним и внутренним диаметром катушки. Из формулы выше можно выразить индукцию:

$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\mathrm{\pi }\left({\mathrm{D}}_1-{\mathrm{D}}_2\right)}$

Чтобы найти напряженность, нужно разделить магнитную индукцию на магнитную постоянную:

$H=\frac{B}{{\mu }_0}$

Подставим значения и рассчитаем:

$B=\frac{1,25·{10}^{-6}·200·2}{2\mathrm{\pi }·\left(0,6-0,4\right)}=0,39мТл$

$\hspace{0.17em}H=\frac{0,39·{10}^{-3}}{1,25·{10}^{-6}}=312 \raisebox{1ex}{$А$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$м$}\right.$

Ответ: 0,39 мТл, 312 А/м

Задача №3 на циркуляцию магнитного поля

Условие

По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I=10 А. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, определите В в точке, расположенной на расстоянии r=10 см от проводника.

Решение

Запишем теорему о циркуляции вектора магнитной индукции:

$\oint Bdl={\mu }_0\sum _{i}I$

В данном случае контуром можно выбрать окружность радиуса r, которая лежит в плоскости, перперникулярной проводнику. Проводник находится в центре окружности. Вектор B направлен по касательной, а его модуль одинаков по всей окружности. Теорема о  циркуляции примет вид:

$$\begin{gathered} B·2\mathrm{\pi r}={\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I} \\ \mathrm{B}=\frac{{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I}}{2\mathrm{\pi r}}=\frac{1,25·{10}^{-6}·10}{2·3,14·0,1}=19,9 \mathrm{мкТл} \end{gathered}$$

Ответ: 19,9 мкТл.

Задача №4 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окружности, через центр которой перпендикулярно ее плоскости проходит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I = 5 А.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитной индукции, циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную:

$$\begin{gathered} \oint Bdl={\mu }_0\sum _{i}I \\ \oint Bdl={\mu }_{0}I=1,25·{10}^{-6}·5=6,25 мкТл·м \end{gathered}$$

Ответ: 6,25 мкТл*м.

Задача №5 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура L, если I1=4 A, I2=1 A, I3=9 A, I4=1 A?

Решение

Согласно теореме, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур.

$\oint Bdl=\sum _{i}I$

Из рисунка видно, что четвертый ток не влияет на циркуляцию. С учетом направлений токов, запишем:

$\oint Bdl=I_1-I_2+I_3=4-1+9=12 А$

Ответ: 12 А

Вопросы на тему «Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции»

Вопрос 1. Что такое циркуляция векторного поля?

Ответ. В общем случае, циркуляция векторного поля по какому-то контуру – это скалярная величина, равная криволинейному интегралу второго рода по данному контуру.

Вопрос 2. Как звучит терема о циркуляции магнитной индукции?

Ответ. 

Циркуляция вектора магнитной индукции магнитного поля равна магнитной постоянной, умноженной на алгебраическую сумму токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция.

Вопрос 3. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция – векторная физическая величина, силовая характеритика магнитного поля. Магнитная индукция определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем с определенной скоростью. Измеряется в Теслах.

Вопрос 4. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность магнитного поля – векторная физическая величина, численно равная:

$H=\frac{B}{{\mu }_0}$

Напряженность в вакууме совпадает с магнитной индукцией. 

Вопрос 5. Справедлива ли теорема о циркуляции для напряженности поля?

Ответ. Да, справедлива. 

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром.

Если у вас не получается быстро решать задачи, не отчаивайтесь! Профессиональный сервис для учащихся поможет ускорить процесс выполнения любого задания: от контрольной до диплома.