Задачи на теорему о циркуляции магнитного поля с решением

Продолжаем разбираться с задачами по физике. На этот раз рассмотрим примеры решения задач на тему «Циркуляция магнитного поля». 

Заходите в наш телеграм – там найдутся интересные новости и лайфхаки для каждого студента. А еще, у нас есть канал со скидками и акциями, не упустите выгоду!

Теорема о циркуляции магнитного поля, задачи

Прежде, чем мы начнем разбирать примеры решений, напомним про полезные формулы и универсальную памятку по физическим задачам. И обязательно почитайте теорию по теме!

Задача №1 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Соленоид длиной l=0,5 м содержит N= 1000 витков. Определить магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если сопротевление его обмоток =120 Ом , а напряжение на ее концах U= 60В.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитного поля:

$$\begin{gathered} \oint Bdl={\mu }_0\sum _i{I}_i \\ Bl={\mu }_{0}IN \end{gathered}$$

По закону Ома:

$I=\frac{U}{R}$

Отсюда запишем соотношение для магнитной индукции:

$B=\frac{{\mu }_{0}UN}{Rl}=\frac{1,25·{10}^{-6}·60·1000}{120·0,5}=1,25·{10}^{-6}Тл$

Ответ: 1,25 мкТл.

Задача №2 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника. Тороид содержит N=200 витков, а по его обмотке протекает ток 2 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний – 40 см.

Решение

Тороид – это катушка, которая имеет замкнутый сердечник в форме кольца или тора.

Вычислим циркуляцию вектора B по осевой линии:

$$\begin{gathered} \oint Bdl=\underset{i}{{\mu }_0\sum I} \\ B·2\pi r={\mu }_{0}NI \end{gathered}$$

Здесь r – разность между внешним и внутренним диаметром катушки. Из формулы выше можно выразить индукцию:

$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\mathrm{\pi }\left({\mathrm{D}}_1-{\mathrm{D}}_2\right)}$

Чтобы найти напряженность, нужно разделить магнитную индукцию на магнитную постоянную:

$H=\frac{B}{{\mu }_0}$

Подставим значения и рассчитаем:

$B=\frac{1,25·{10}^{-6}·200·2}{2\mathrm{\pi }·\left(0,6-0,4\right)}=0,39мТл$

$\hspace{0.17em}H=\frac{0,39·{10}^{-3}}{1,25·{10}^{-6}}=312 \raisebox{1ex}{$А$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$м$}\right.$

Ответ: 0,39 мТл, 312 А/м

Задача №3 на циркуляцию магнитного поля

Условие

По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I=10 А. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, определите В в точке, расположенной на расстоянии r=10 см от проводника.

Решение

Запишем теорему о циркуляции вектора магнитной индукции:

$\oint Bdl={\mu }_0\sum _{i}I$

В данном случае контуром можно выбрать окружность радиуса r, которая лежит в плоскости, перперникулярной проводнику. Проводник находится в центре окружности. Вектор B направлен по касательной, а его модуль одинаков по всей окружности. Теорема о  циркуляции примет вид:

$$\begin{gathered} B·2\mathrm{\pi r}={\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I} \\ \mathrm{B}=\frac{{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I}}{2\mathrm{\pi r}}=\frac{1,25·{10}^{-6}·10}{2·3,14·0,1}=19,9 \mathrm{мкТл} \end{gathered}$$

Ответ: 19,9 мкТл.

Задача №4 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окружности, через центр которой перпендикулярно ее плоскости проходит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I = 5 А.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитной индукции, циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную:

$$\begin{gathered} \oint Bdl={\mu }_0\sum _{i}I \\ \oint Bdl={\mu }_{0}I=1,25·{10}^{-6}·5=6,25 мкТл·м \end{gathered}$$

Ответ: 6,25 мкТл*м.

Задача №5 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура L, если I1=4 A, I2=1 A, I3=9 A, I4=1 A?

Решение

Согласно теореме, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур.

$\oint Bdl=\sum _{i}I$

Из рисунка видно, что четвертый ток не влияет на циркуляцию. С учетом направлений токов, запишем:

$\oint Bdl=I_1-I_2+I_3=4-1+9=12 А$

Ответ: 12 А

Вопросы на тему «Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции»

Вопрос 1. Что такое циркуляция векторного поля?

Ответ. В общем случае, циркуляция векторного поля по какому-то контуру – это скалярная величина, равная криволинейному интегралу второго рода по данному контуру.

Вопрос 2. Как звучит терема о циркуляции магнитной индукции?

Ответ. 

Циркуляция вектора магнитной индукции магнитного поля равна магнитной постоянной, умноженной на алгебраическую сумму токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция.

Теорема о циркуляции магнитного поля доказывается с помощью закона Био-Савара-Лапласа.

Вопрос 3. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция – векторная физическая величина, силовая характеритика магнитного поля. Магнитная индукция определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем с определенной скоростью. Измеряется в Теслах.

Вопрос 4. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность магнитного поля – векторная физическая величина, численно равная:

$H=\frac{B}{{\mu }_0}$

Напряженность равна разности векторов магнитной индукции и намагниченности среды.

Напряженность в вакууме совпадает с магнитной индукцией. 

Вопрос 5. Справедлива ли теорема о циркуляции для напряженности поля?

Ответ. Да, справедлива. 

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром.

Если у вас не получается быстро решать задачи, не отчаивайтесь! Профессиональный сервис для учащихся поможет ускорить процесс выполнения любого задания: от контрольной до диплома.