Специальное предложение

Дифференциальные уравнения для "чайников". Примеры решения

Содержание:
  • 12 Январь 2021
  • 8 минут
  • 248 961
  • 4

дифференциальные уравнения для чайников примеры

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

 

Решение уравнений
Решение уравнений

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

дифференциальные уравнения 1 порядка для чайников

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

решение дифференциальных уравнений

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

как решать дифференциальные уравнения для чайников

Приведем пример:

высшая математика для чайников дифференциальные уравнения

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

решение дифференциальных уравнений для чайников

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

 

Математика
Математика

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

как решать дифференциальные уравнения для чайников

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

дифференциальные уравнения 1 порядка для чайников

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

дифференциальные уравнения для чайников примеры объяснение

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

дифференциальные уравнения для чайников примеры

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

дифференциальные уравнения первого порядка для чайников

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

решение дифференциальных уравнений первого порядка для чайников

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

высшая математика для чайников дифференциальные уравнения

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

 

Навигация по статьям
Доверь свою работу кандидату наук!
  • 01
    Предоплата всего 25%
  • 02
    Шпаргалки в подарок!
  • 03
    Сопровождение до защиты
Узнай бесплатно стоимость работы
Посмотрите примеры наших работ
  • Педагогика
    Педагогика

    Воспитание в узком педагогическом смысле, социализация, обучение

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Время выполнения:

      3 дней

    • Стоимость заказа:

      1 300 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Геология
    Геология

    Геологическая позиция разломов. Разделение шовных зон

    • Вид работы:

      Реферат

    • Время выполнения:

      1 дней

    • Стоимость заказа:

      800 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Экономика предприятия
    Экономика предприятия

    Факторы, влияющие на оборачиваемость дебиторской задолженности

    • Вид работы:

      Отчёт по практике

    • Время выполнения:

      8 дней

    • Стоимость заказа:

      2 000 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Психология здоровья
    Психология здоровья

    Роль занятий физической культурой в процессе формирования психических качеств личности

    • Вид работы:

      Реферат

    • Время выполнения:

      2 дней

    • Стоимость заказа:

      900 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Психология личности
    Психология личности

    ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЬЮТОРСКОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО РАЗВИТИЯ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНИКА

    • Вид работы:

      Презентации (PPT, PPS)

    • Время выполнения:

      2 дней

    • Стоимость заказа:

      1 800 руб

    Смотреть работу в PDF