Дифференциальные уравнения для чайников: примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Дифференциальные уравнения для "чайников". Примеры решения

Иван Иван 15 Июнь 2017 60 359 4 Время чтения:
Содержание
Содержание

    дифференциальные уравнения для чайников примеры

    Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

    Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

    Основные понятия теории дифференциальных уравнений

    Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

    Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

    Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

    Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

    Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

    Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

    Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

    Решение уравнений
    Решение уравнений

    Обыкновенные дифференциальные уравнения

    Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

    Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

    дифференциальные уравнения 1 порядка для чайников

    Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

    Примеры таких уравнений:

    решение дифференциальных уравнений

    Уравнения с разделяющимися переменными

    В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

    как решать дифференциальные уравнения для чайников

    Приведем пример:

    высшая математика для чайников дифференциальные уравнения

    Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

    решение дифференциальных уравнений для чайников

    После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

    Математика
    Математика

    Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

    Такие уравнения имеют вид:

    как решать дифференциальные уравнения для чайников

    Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

    дифференциальные уравнения 1 порядка для чайников

    Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

    Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

    Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

    Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

    дифференциальные уравнения для чайников примеры объяснение

    Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

    дифференциальные уравнения для чайников примеры

    Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

    дифференциальные уравнения первого порядка для чайников

    Теперь осталось проинтегрировать обе части:

    решение дифференциальных уравнений первого порядка для чайников

    Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

    высшая математика для чайников дифференциальные уравнения

    Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

     

    Оцените материал
    60 359 4
    Комментарии (4)
    влад
    ну не макаренко отнюдь это я и в учебнике найду а если туманно ссылаться на сложности значит выдать себя -некомпетентность так верхи
    другой влад
    ты сам то понял что понакарякал
    Талибов Тариель ГурумсагОвич
    Не бойтесь комментов честнОго народа )
    Анастасия
    Хорошо, не будем:)
    Оставить комментарий
    {$ errors.username[0] $}
    Вы уже наш клиент? Авторизуйтесь.
    {$ errors.email[0] $}
    Пользователь с таким email уже существует! Авторизуйтесь.
    {$ errors.content[0] $}
    Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности