Дифференциальные уравнения для «чайников». Примеры решения

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Вам понравится:   Минобр предупреждает! или За что можно вылететь из вуза?

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Решение уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

дифференциальные уравнения 1 порядка для чайников

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

решение дифференциальных уравнений

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

как решать дифференциальные уравнения для чайников

Приведем пример:

высшая математика для чайников дифференциальные уравнения

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

решение дифференциальных уравнений для чайников

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

ДУ для начинающих
Математика

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

как решать дифференциальные уравнения для чайников

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

дифференциальные уравнения 1 порядка для чайников

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Вам понравится:   Начинаем работать в Google Docs: создаем, открываем, сохраняем документ

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

дифференциальные уравнения для чайников примеры объяснение

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

дифференциальные уравнения для чайников примеры

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

дифференциальные уравнения первого порядка для чайников

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

решение дифференциальных уравнений первого порядка для чайников

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

высшая математика для чайников дифференциальные уравнения

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

 

Иван
Иван
Автор
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Оцените материал:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд
113
Комментарии отсутствуют Написать комментарий
Ваш комментарий Отменить ответ