Специальное предложение

Метод Гаусса для чайников: решаем СЛАУ легко

Содержание:
  • 12 Январь 2021
  • 7 минут
  • 91 942

Высшая математика. Метод Гаусса для чайников

Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!

Метод Гаусса

Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее метода Крамера, он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.

  1. Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
  2. Система имеет бесконечное множество решений;
  3. Решений нет, система несовместна.

Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?

решение системы с помощью крамера

Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.

Прямой ход метода Гаусса

Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.

решение методом гаусса для чайников

Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.

решить систему способом гаусса

Что можно делать:

  1. Можно переставлять строки матрицы местами;
  2. Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
  3. Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
  4. Нулевые строки удаляются;
  5. Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Обратный ход метода Гаусса

После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.

Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн. Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.

Пример решения системы уравнений методом Гаусс

А теперь - пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:

решить систему матрицы методом гаусса

Сначала запишем расширенную матрицу:

решить систему уравнений методом исключения неизвестных гаусса

Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:

исследовать и решить систему уравнений методом гаусса

Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

метод гаусса как решать подробно

Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Вуаля - система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:

решить систему уравнений методом гаусса примеры

Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набьете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! Заказать недорого  реферат вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!

Навигация по статьям
Доверь свою работу кандидату наук!
  • 01
    Предоплата всего 25%
  • 02
    Шпаргалки в подарок!
  • 03
    Сопровождение до защиты
Узнай бесплатно стоимость работы
Посмотрите примеры наших работ
  • Педагогическая психология
    Педагогическая психология

    Организационно-методические условия работы с военнослужащими групп психолого-педагогического наблюдения в вооруженных силах Российской Федерации

    • Вид работы:

      Дипломная

    • Время выполнения:

      11 дней

    • Стоимость заказа:

      10 000 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Психология
    Психология

    Теоретические аспекты изучения готовности к выбору профессии и склонности к риску у старшеклассников с различным типом характера

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Время выполнения:

      5 дней

    • Стоимость заказа:

      2 200 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Экономика предприятия
    Экономика предприятия

    Финансовый расчет предприятия

    • Вид работы:

      Отчёт по практике

    • Время выполнения:

      9 дней

    • Стоимость заказа:

      2 100 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Архитектура
    Архитектура

    Актуальность реновации для субъектов Российской Федерации

    • Вид работы:

      Реферат

    • Время выполнения:

      7 дней

    • Стоимость заказа:

      900 руб

    Смотреть работу в PDF
  • Инновационный менеджмент
    Инновационный менеджмент

    Основная терминология инноваций

    • Вид работы:

      Презентации (PPT, PPS)

    • Время выполнения:

      2 дней

    • Стоимость заказа:

      2 500 руб

    Смотреть работу в PDF