Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уровнений). Правила, примеры

Метод Гаусса для чайников: решаем СЛАУ легко

Иван Иван 25 Май 2017 23 177 Время чтения:
Содержание
Содержание

    Высшая математика. Метод Гаусса для чайников

    Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!

    Метод Гаусса

    Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее метода Крамера, он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.

    1. Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
    2. Система имеет бесконечное множество решений;
    3. Решений нет, система несовместна.

    Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?

    решение системы с помощью крамера

    Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.

    Прямой ход метода Гаусса

    Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.

    решение методом гаусса для чайников

    Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.

    решить систему способом гаусса

    Что можно делать:

    1. Можно переставлять строки матрицы местами;
    2. Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
    3. Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
    4. Нулевые строки удаляются;
    5. Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.

    Обратный ход метода Гаусса

    После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.

    Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн. Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.

    Пример решения системы уравнений методом Гаусс

    А теперь - пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:

    решить систему матрицы методом гаусса

    Сначала запишем расширенную матрицу:

    решить систему уравнений методом исключения неизвестных гаусса

    Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:

    исследовать и решить систему уравнений методом гаусса

    Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

    метод гаусса как решать подробно

    Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

     

    Вуаля - система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:

    решить систему уравнений методом гаусса примеры

    Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набъете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! Заказать недорого  реферат вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!

    Оцените материал
    23 177
    Комментарии отсутствуют
    Оставить комментарий
    {$ errors.username[0] $}
    Вы уже наш клиент? Авторизуйтесь.
    {$ errors.email[0] $}
    Пользователь с таким email уже существует! Авторизуйтесь.
    {$ errors.content[0] $}
    Оставляя комментарий, я соглашаюсь на обработку своих персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности